januari 28, 2013
Hewitt kap 19
transversella vågor
longitudinella vågor
fortskridande vågor
superposition och interferens
reflektion
fri ändpunkt
fixerad ändpunkt
• stående vågor
• chockvågor
· transversella - rörelse vinkelrätt på utbredningsriktning
· enkelt att visualisera
· återställande kraft? Spänning, enhet newton, jämvikt är rak
· mått för tröghet? massa per längdenhet
· dimensionsanalys för utbredningshastighet
utbredningshastighet: v [m/s]
spännkraft: T (tension) [N] = [kg m/s2]; linjär densitet: ⍴ [kg/m]
vågekvation (Benson): T d2u/dx2 = ρd2u/dt2
F på ett längdelement δℓ
kraf
•
•
•
•
•
Vågor på strängar
= m
a (Newtons lag)
lösning: u(x,t) = A sin(kx - ωt + φ); k=2π/λ; v=ω/k = √(T/ρ)
Betrakta en vågform u=f(x,t) som utbreder sig längs x-axeln.
Om dess profil inte ändras, är u=f(x-vt), där v är utbredningshastighet.
(plus-tecken om vågen rör sig till vänster)
Om vi antar att funktionen f är två gånger differentierbar,
har vi dessa partiella derivator genom kedjeregeln:
∂2u/∂x2 = f"(x-vt)
∂2u/∂t2 = v2 f"(x-vt).
Då är u en lösning av denna differentialekvation:
∂2u/∂t2 = v2 ∂2u/∂x2 - vågekvationen
Exempel: f(x-vt) = A sin(kx-ωt) där v = ω/k är en lösning
Longitudinella vågor
•
•
•
•
•
•
•
rörelser i samma riktning som vågutbredningen
mycket svårare att visualisera och demonstrera
viktiga: ljud
mått för tröghet
återställande kraft: fjäderkonstanten
i en stav: elasticitetsmodulen, Youngs modul)
luft: luftens elasticitet = tryck (återkommer)
januari 28, 2013
Interferens och superposition
• vågekvationen är linjär (inga termer prop mot x2 osv)
• om ψ och φ är lösningar, är även φ+ψ en lösning
• vågor passerar rakt igenom varandra
Reflektion
· fixerad ändpunkt
· utvikelsen alltid noll
· som en speglad våg med motsatt tecken
•
•
•
•
fri ändpunkt
den återställande kraften från resten av strängen saknas
utvikelsen blir två gånger så stor
som en speglad våg med samma tecken från andra sidan
PhET: Vågor på ett rep
Stående vågor
• summa av två fortskridande vågor av samma
frekvens och amplitud med motsatt hastighet
januari 28, 2013
Vågutbredningshastigheten v och våglängden λ
En periodisk störning (med period T) ger i ett medium
med utbredningshastighet v upphov till en våg med
periodiskt beroende på avståndet till källan x.
Periodiciteten i rummet kallas våglängd λ.
Chockvågor, ljudknall, cerenkov
Doppler effekt
• Hewitts video
Överljudsfart
januari 28, 2013
Cerenkov-ljuset
