Matematik Ten 1:3 T-bas 2004-08-09

Matematik Ten 1:3 T-bas 2004-08-09
Nya kursen
1+1
1. Förenkla uttrycket a b så långt som möjligt. (1p)
a−b
b a
2. Lös ekvationen x + x − 12 = 0 . (2p)
3. En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a)
ligger på linjen. (2p)
4. f ( x) = x 2 + x . Ange f ′(2) med hjälp av derivatans definition. (2p)
4
5. Kurvan y = x + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = 1 x + 17 .
12 12
3
Ange ekvationen för denna tangent. (2p)
6. Lös ekvationen e x +1 = 10 x 3 . Svara exakt. (2p)
7. Skuggan av ett träd är 22 meter lång då solen står 30° över horisonten, d v s vinkeln
mellan en solstråle och den horisontella marken är 30o. Trädet får anses stå lodrätt.
Hur lång är skuggan då solen står 60° över horisonten? (2p)
8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 2000.
Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (2p)
9. Funktionen y = 2 x 2 − x 4 är definierad i intervallet − 1 ≤ x ≤ 2 .
a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p)
b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (2p)
10. Två lika stora rektangulära tomter ska inhägnas med hjälp av 540 meter staket.
Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket.
Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (3p)
11. 12500 kronor sätts in på ett bankkonto vid varje årsskifte mot 4,2 % ränta.
a. Ange ett uttryck som visar hur stor behållningen på kontot är efter t år, dvs. efter t+1
insättningar av 12500 kronor. (1p)
b. Beräkna hur lång tid det tar, innan behållningen på kontot är 100 000 kr.
(Lös uppgiften med hjälp av en ekvation. Annan lösningsmetod godtages inte.) (2p)
Matematik Ten 1 T-bas 2003-08-09
Gamla kursen
1+1
1. Förenkla uttrycket a b så långt som möjligt. (1p)
a−b
b a
2. Lös ekvationen x + x − 12 = 0 . (2p)
3. En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a)
ligger på linjen. (2p)
4. f ( x) = x 2 + x . Ange f ′(2) med hjälp av derivatans definition. (2p)
4
5. Kurvan y = x + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = 1 x + 17 .
12 12
3
Ange ekvationen för denna tangent. (2p)
6. Lös ekvationen e x +1 = 10 x 3 . Svara exakt. (2p)
7. Skuggan av ett träd är 22 meter lång då solen står 30° över horisonten, d v s vinkeln
mellan en solstråle och den horisontella marken är 30o. Trädet får anses stå lodrätt.
Hur lång är skuggan då solen står 60° över horisonten? (2p)
8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 2000.
Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (2p)
9. Funktionen y = 2 x 2 − x 4 är definierad i intervallet − 1 ≤ x ≤ 2 .
a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p)
b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (2p)
10. Två lika stora tomter ska inhägnas med hjälp av 540 meter staket.
Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket.
Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (3p)
11. Hos en överförfriskad person avtar alkoholhalten i blodet exponentiellt: y = A ⋅ e bt ,
där y är alkoholhalten i ‰, A och b är konstanter och t är tiden i timmar.
Provtagning visar att alkoholhalten från början är 2,0 ‰ och efter 4,5 timmar 1,0 ‰
Bestäm konstanterna A och b och ange hur snabbt alkoholhalten avtar efter 4,5 timmar,
dvs. beräkna y ′(4,5) . (3p)
Lösningar till Matematik Ten 1:1 T-bas 2004-08-09
Nya och gamla kursen
1.
b+a
1+1
a b = ab = b + a =
a+b
= 1 .
2
2
2
2
a−b
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
a −b
a −b
a −b
b a
ab
2.
x + x − 12 = 0 ⇔
( x)
2
+ x − 12 = 0 ⇔
x =−1±
2
( ) − (−12) = − 12 ±
1
2
2
49 = − 1 ± 7 .
4
2 2
x = 6 = 3 (En kvadratrot kan inte ha ett negativt värde.) ; x = 3 2 = 9
2
Prövning: VL = 9 + 9 − 12 = 9 + 3 − 12 = 0 = HL
Svar: x = 9
3. k = 7 − 5 = 1 . Alltså är y = 1 x + m . (1, 5) ligger på linjen 5 = 1 ⋅1 + m ⇒ m = 9 .
5 −1 2
2
2
2
9
1
Alltså är linjens ekvation y = x + .
2
2
(8, a) är en punkt på linjen. a = 1 ⋅ 8 + 9 = 17 .
2
2 2
4. f ( x) = x 2 + x .
f (2 + h) − f (2) (2 + h) 2 + 2 + h − (22 + 2) h(2 ⋅ 2 + h + 1)
=
=
= 2 ⋅ 2 + h +1 → 2 ⋅ 2 +1 = 5
h
h
h
då h → 0 .
Svar: f ′(2) = 5
4
5. y = x + 11 ⇒ y′ = 1 x 3 . y = 1 x + 17 har k-värdet 1 .
12 12
3
3
3
1 x3 = 1 ⇒ x = 1 . Tangeringspunktens y-koordinat är 14 + 11 = 1 .
3
3
12 12
Antag tangentens ekvation är y = 1 x + m . (1, 1) ligger på tangenten 1 = 1 ⋅1 + m ⇒ m = 2 .
3
3
3
1
2
Alltså är tangentens ekvation y = x + .
3
3
6. e
x +1
= 10
x
3
;
3 = ln 10 ⋅ x − 3 x
ln e
;
x +1
= ln 10
x
3
;
3 = (ln 10 − 3) ⋅ x
x
ln 10
3
3
x=
ln 10 − 3
( x + 1) ln e =
;
;
3 x + 3 = ln 10 ⋅ x
7.)
h
30o
60o
x
22 m
h = tan 30o ⇒ h = 22 tan 30o . h = tan 60o ⇒ x = h = 22 tan 30o ≈ 7,3 m
22
x
tan 60o
tan 60o
Svar: 7,3 m
8. Antag förändringsfaktorn är x . Då gäller 8,9 = 5,1 ⋅ x100
1
8,9
8,9
= x 100 ; x = ( ) 100 ≈ 1,005584
5,1
5,1
Procentuell ökning: 100,5584-100=0,5584
Svar: 0,56%
9a. y = 2 x 2 − x 4 = x 2 (2 − x 2 ) = x 2 ( 2 − x)( 2 + x)
ger nollställena
x1 = x 2 = 0 ; x3 = 2 inom definitionsmängden.
x 4 = − 2 tillhör inte definitionsmängden
Svar: x = 0 eller x = 2
9b. y ′ = 4 x − 4 x 3 = 4 x(1 − x 2 ) = 4 x(1 − x)(1 + x)
Derivatans nollställen samt intervallets ändpunkter kontrolleras beträffande
funktionsvärden.
x = −1 ger y = 1
x = 0 ger y = 0
x = 1 ger y = 1
x = 2 ger y = −8
Svar: Minsta värde = − 8 , Största värde = 1
10.
x
y
x
y
y
x
Staketets längd är 3x + 3y = 540 ; x + y = 180 ;
Arean av en rektangel är A = xy = x(180 – x) = 180x – x2
A′ = 180 – 2x
A′ = 0 för x = 90
;
A′′ = −2 < 0 ; maximum
Amax = 90(180 – 90) = 8100
y = 180 – x
Svar: 8100 m2
11 Nya kursen
11a.)
År Behållning
12500 kronor
1
2
3
t
12500 +1,042 ⋅ 12500 kronor
12500 +1,042 ⋅ 12500 +1,042 2 ⋅ 12500 kronor
12500 +1,042 ⋅ 12500 +1,042 2 ⋅ 12500+1,0423 ⋅ 12500 kronor
12500 +1,042 ⋅ 12500 +1,042 2 ⋅ 12500+ K +1,042t ⋅ 12500 kronor
b.) 12500 +1,042 ⋅12500 +1,0422 ⋅12500+ K +1,042t ⋅12500 = 100000
100000 ⋅ (1, 042 − 1)
1, 042t +1 − 1
12500 ⋅
= 100000 ⇒ 1, 042t +1 =
+1
1, 042 − 1
12500
 100000 ⋅ (1, 042 − 1) 
+ 1
Logaritmering av båda leden ger (t + 1) ⋅ ln 1, 042 = ln 
12500


t +1 =
ln
(
100000 ⋅ (1, 042 − 1)
12500
ln1, 042
) ≈ 7, 0 ⇒ t ≈ 6, 0 .
+1
Svar: 6,0 år
11 Gamla kursen
y = A ⋅ e bt .
(0; 2,0) och (4,5; 1,0) ligger på kurvan.
2, 0 = A ⋅ eb⋅0 
ln 0,5
⇒ A = 2, 0 b =
.
b⋅4,5 
4,5
1, 0 = A ⋅ e 
Alltså: y = 2, 0 ⋅ e
y′ = 2, 0 ⋅
ln 0,5
⋅t
4,5
ln 0,5
⋅e
4,5
ln 0,5
⋅t
4,5
.
.
ln 0,5
ln 0,5 4,5 ⋅4,5
ln 0,5
y′(4,5) = 2, 0 ⋅
⋅e
= 2, 0 ⋅
⋅ 0,5 ≈ −0,154 ‰ /h
4,5
4,5
(Minustecknet anger att promillehalten avtar.)
Svar: 0,15 ‰ /h
Rättningsmall Matematik TEN 1:3 2004-08-09
1. ------2. Kommer till x = 3 sedan fel
Förkastar inte eller kommenterar inte
Prövning saknas
x = −4
3. Rätt ekvation på linjen , sedan fel
-1p
-1p
inget avdrag
-1p
4. ------5. ------6. Kommit till 3 x + 3 = ln 10 ⋅ x eller likvärdigt uttryck, sedan fel
-1p
7. Fel trigonometrisk funktion och rimligt svar, <22m
Fel trigonometrisk funktion och orimligt svar, >22m
-1p
-2p
8. Räknar linjärt
-2p
9a. Svarar även med x = − 2
9b. -------
-1p
10. Har rätt areafunktion i en variabel, sedan fel
Visar inte att maximum råder
-2p
-1p
11a. ------11b. Har fel antal termer från a-uppgiften, f. ö. rätt, följdfel
inget avdrag