TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
Omfattning och
betygsgränser:
HF0021
Matematik för basår I
TEN2
Tekniskt basår
Bengt Andersson, Fredrik Bergholm
Niclas Hjelm
2015-06-02
08:15-12:15
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
Student som är godkänd på KS4 hoppar över uppgift 1-5
1. Beräkna f (1) då f ( x)
12 x
.
5
(2p)
2. Bestäm samtliga max-, min- och terrasspunkter till kurvan y 3x 2 x 3 1 .
(2p)
3. Saldot (i kronor) på ett bankkonto växer enligt S (t ) 3500 e 0,09 t ,
där t = tiden i år. Vilken räntesats har bankkontot?
(1p)
4. Bestäm med derivatans definition, derivatan till f(x) = x3-8
(2p)
5. Förenkla lg1000a+lne2a
(1p)
Dessa uppgifter gör alla studenter
Beräkna vinkeln v i figuren (v är trubbig). Svara i hela grader.
(1p)
7. Bestäm koordinaterna för alla extrempunkter till funktionen
f ( x) 4x 1 x ( x 0)
Avgör om extrempunkterna är maximi eller minima
(2p)
8. Bestäm största och minsta värde för funktionen
(2p)
6.
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 -5x , 0 ≤ x < e
9. För funktionen f gäller att f(2) = -1 samt att f´(x) ≤ 4 för alla x.
Vilket är det största värdet f(3,5) kan anta?
(2p)
x
13 lg 28
4
1,2 7,7 .
10. Lös ekvationen
4
(2p)
11.Figuren visar en fyrhörning ABCD. Beräkna längden av sidan CD.
(3p)
12.Till den punkt på kurvan f(x) = ( x +5 )2 - 9 , där x= -4, dras en tangent.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan denna tangent och
cirkeln ( y - 3 )2 + ( x - 2 )2 = 1.
(3p)
13. En rektangel skall ha omkretsen 90 cm. Om man böjer ihop rektangeln
nedan, så att sidorna med längden h möts, får man ett cylinderformat rör.
Beräkna cylinderns radie och höjd då dess volym är så stor som möjligt.
(3p)
Lösningsförslag:
12 x
. Kan skrivas f (x) 12x0,5/5 .
5
f ´(x ) = 6x-0,5/5= 1,2x-0,5
1) f ( x )
f ´´(x) = -0,5·1,2x-1,5= - 0,6 x-1,5 = -3/5x√𝑥
f ´´(1) = = - 3/ 5·1 · √1 = - 3/5
Svar: f´´(1) = -3/5
2) y 3x 2 x 3 1
Bestämmer derivatans nollställen
y´= 6x - 3x2
y´ = 0 ⇒ 3x(2 - x) = 0
med lösningarna x1 = 0 och x2 = 2
y-koordinaterna bestäms
y(0) = 1 samt y(2) = 5
Maximi- eller minimi bestäms med andraderivata; y´´ = 6 - 6x
y´´(0) = 6 ˃0 ⇒ minp. ( 0 , 1 )
y´´(2) = - 6 ˂0 ⇒ maxp. ( 2 , 5 )
Svar: Maximipunkt 2,5 , Minimipunkt (0,1)
3). e0,09 ≈ 1,09417
Svar: Den årliga räntesatsen är 9,4%.
4. Börjar med att förenkla ändringskvoten
f(x+h) = (x + h)3 –8 = x3 +3x2h + 3xh2 +h3 – 8
f(x) = x3- 8
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
3
= (x
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
+3x2h + 3xh2 +h3 – 8 – (x3- 8))/h =3x2 + 3xh +h2
Slutligen beräknas f´(x), gränsvärdet av ändringskvoten för h→0
𝑙𝑖𝑚
f´(x) =ℎ→0
3x2 +3xh +h2 = 3x2
Svar: f´(x) = 3x2
5) lg1000a+lne2a kan med hjälp av logaritmlagarna skrivas 3a·lg10 + 2a·lne.
Och eftersom lg10 = 1 och lne =1, får vi 3a·1 +2a·1 = 5a
Svar: lg1000a+lne2a kan förenklas till 5a
6) Vinkeln v beräknas med sinussatsen,
𝑠𝑖𝑛𝑣
8,0
=
𝑠𝑖𝑛32°
5,0
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑎
=
𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑏
⇒ v1 ≈ 58° och v2 = 180° - v1 ≈ 122°
Eftersom vinkeln v skall vara trubbig förkastas v1
Svar: Vinkeln v är122 °
7) f(x) = 4x + 1/x
def.villkor x≠0
Derivatans nollställen beräknas:
f ´(x) = 4 – 1/x2
f ´(x) = 0 ger ekvationen 4 – 1/x2=0 med lösningarna x= ±1/2
Andraderivatan används för att beräkna maximi eller minima:
f ´´(x) = 2/x3
f ´´(-1/2) = -16 < 0 ⟹ maxpunkt ( - 1/2 , f( -1/2) )
f ´´(1/2) = 16 > 0 ⟹ minpunkt (1/ 2 , f( 1/2) )
Slutligen beräknas y-koordinaterna:
f(-1/2) = -4
f(1/2) = 4
Svar: Funktionen har maxpunkt i ( -1/2, - 4)och minpunkt i ( 1/2 , 4)
8) Undersöker om derivatan till funktionen f(x) = ex – 5x, har några nollställen.
f´(x) = 0 ⇒ 𝑒 𝑥 -5 = 0 med lösningen x = ln 5.
Lösningen ligger i intervallet 0 ≤ x < e , ln5 ≈1,61, och eftersom funktionen är
kontinuerlig återfinns funktionens största och minsta värde i intervallets gränser,
x1 = 0, x2 = 5 eller där derivatan är noll i intervallet, x = ln5
f(0) = 1
f(ln5) = 5 -5 ln5 ≈ -3,05 minsta värde
f(e) = ee – 5e ≈ 1,6 största värde, men ej inom intervall.
Svar: Minsta värde = 5 – 5ln5, största värde saknas.
9) Största värde för f(3,5) erhålls då derivatan är så stor som möjligt
i hela intervallet 2 ≤ x ≤ 3,5.Då blir f(3,5) = f(2) + 4·1,5 = -1+6 =5.
Svar: f(3,5) kan som störst bli 5
x
13 lg 28
4
1,2 7,7
10) Lös ekvationen
4
x
lg 28 = 4·(7,7-1,2)/13
4
x
lg 28 =2
4
x
28 = 102
4
x = (100+28)·4=512
Svar: x=512
11)AC beräknas med cosinussatsen, b2= a2+c2-2ac·cosB
(AC)2 = 252 +132 -2·25·13·cos127° ⇒ AC ≈ 34.43..cm
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵
Vinkeln BAC, benämns här v, beräknas med sinussatsen, 𝑎 = 𝑏
𝑠𝑖𝑛𝑣
𝑠𝑖𝑛127°
= 34.43 ⇒ v1 ≈ 17,55.. och (v2 = 180° - v1) orimlig
Vinkeln DAC = 90° - v1 ≈ 72.45°..
Slutligen beräknas DC med cosinussatsen
(DC)2 = 32,02 +34,432 -2·32,0·34,43·cos72,45.. ⟹ DC ≈ 39,3cm
13
12) y-kordinaten för tangeringspunkten beräknas, f(-4) = (-1)2 -9 = -8
Riktningskoefficienten, k , för tangenten beräknas,
k = f´(-4) där f´(x) = 2x + 10
f´(-4) = 2·(-4) + 10 = 2
Tangentens ekvation, y = kx + m beräknas med y - y1 = k·(x - x1)
x1= -4 , y1 = -8 , k = 2 ⇒ y = 2x
Eventuella skärningspunkter mellan tangenten och cirkeln beräknas
( y - 3 )2 + ( x - 2 )2 = 1 där y = 2x ger
(2x - 3 )2 + ( x - 2 )2 = 1
4x2 -12x +9 + x2 - 4x +4 =1
x2 - 3,2x +2,4 = 0 med lösningarna x1 = 1,2 samt x2 = 2 , och y1 = 2,4 samt y2 = 4
Kontrollerar beräkningarna genom att undersöka om (1,2; 2,4) och ( 2 , 4 )
Ligger på cirkeln ( y - 3 )2 + ( x - 2 )2 = 1.
VL =( 2,4 -3)2 + (1,2-2)2 =1=HL
VL = (4-3)2 +(2-2)2 =1=HL
Svar: Skärningspunkterna mellan tangent och cirkel är (1,2; 2,4) och ( 2 , 4 )
13) Halva omkretsen på rektangeln är 45 cm. Om basen är x cm så är dess
höjd, h, (45 -x ) cm.
Basen på rektangeln blir omkretsen på cylindern, 2𝜋r =x.
Höjden på cylindern är identisk med höjden på rektangeln.
Cylinderns volym: V = 𝜋r2h.
𝑥
Med r =
2𝜋
och h = 45-x, kan volymen skrivas som en funktion av x, där
𝑥
V(x) =𝜋 (2𝜋)2( 45-x )
V(x) =
𝑥2
4𝜋
V´(x) =
0 ˂ x ˂ 45
1
(45-x) = 4𝜋(45x2- x3)
1
4𝜋
( 90x - 3x2 ) = =
3
4𝜋
x( 30 - x )
V´(x) = 0 ger lösningarna x1 = 0 och x2 = 30, men bara x2=30 inom def.mängd.
V´´(x) =
1
4𝜋
V´´(30) =
(90 - 6x)
1
4𝜋
(90 - 6·30) ˂ 0 ⇒ maxpunkt (30, V(30))
Slutligen beräknas radien och höjden då volymen är som störst,
h = 45-30 = 15cm
r = 30/2𝜋 ≈ 4,8cm
Svar: Den största volymen får vi då radien är 4,8cm och höjden är 15cm.
Rättningsmall
Generella riktlinjer för tentamensrättning
Varje beräkningsfel
(Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar)
Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling
Prövning istället för generell metod
Felaktiga antaganden/ansatser
Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt
-1 poäng
Om ’=’ saknas (t.ex. ’=>’ används istället)
Om ’=’ används felaktigt (t.ex. istället för ’=>’)
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
Teoretiska uppgifter:
Avrundade svar
-1 poäng/tenta
Tillämpade uppgifter:
Enhet saknas/fel
Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar
Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok)
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-2 poäng eller mer
- samtliga poäng
- samtliga poäng
-1 poäng eller mer
Riktlinjer för specifika uppgifter
1. Rätt uttryck för andraderivatan, sedan fel
-1p
2. Svarar med x-värden istället för punkter
-1p
Bestämmer ej punkternas karaktär / felaktig bestämning av punkternas karaktär
-1p/gång
3. Rätt eller fel
4. Använder ej derivatans definition
-2p
Lim saknas
-1p
5. Rätt eller fel
6. Rätt eller fel
7. Bestämmer ej punkternas karaktär / felaktig bestämning av punkternas karaktär
-1p/gång
8. Undersöker bara intervallets ändpunkt x 0
-2p
Undersöker bara intervallets ändpunkt x 0 samt den otillåtna punkten x e
-2p
Undersöker bara den punkt där f ' ( x) 0
-2p
Beräknar f (0), f (ln 5), f (e) men drar felaktigt slutsatsen att största
värdet är 1 eller e e 5e
-1p
9. 10. 11. ?
12. Bara rätt tangent
-2p
En av lösningarna saknas
-1p
Svarar bara med x-värden eller bara med y-värden istället för punkter
-1p
13. Anger ej definitionsmängd, kollar inte heller att erhållet värde på h/b är fysiskt möjligt
-1p
Påvisar/verifierar ej maximum
-1p
Svarar bara med radien eller bara med höjden
-1p
