MA1202 – UPPGIFT 1

INFÖR NATIONELLA PROVET
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
MATMAT02b – UPPGIFT 0
Förenkla så långt som möjligt
bbbbb
bb

5b
2b

5
2
 2,5
MATMAT02b – UPPGIFT 1
MATMAT02b – UPPGIFT 1
MATMAT02b – UPPGIFT 2
 3x  42

3
3
MATMAT02b – UPPGIFT 2
 3x  42

3
3
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 5
Andra kvadreringsregeln:
2
2
(a  b)  a  2ab  b
2
MATMAT02b – UPPGIFT 6
1
y  4x  5
(1,1)
4
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 8
(Transversalsatsen)
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 9
RÄTT!
3x  6
x2
Vid multiplikation och division med negativt tal (ex. -2) måste man
vända på olikhetstecknet
MATMAT02b – UPPGIFT 10
144  104  x
144 - 104 = x
x = 40
MATMAT02b – UPPGIFT 10
z  x y
YTTERVINKELSATSEN
MATMAT02b – UPPGIFT 10
v
z  v  180
x  y  v  180
z  x y
YTTERVINKELSATSEN
MATMAT02b – UPPGIFT 11
MATMAT02b – UPPGIFT 11
m=3
k = -2
y = -2x + 3
Hur ser man att k = -2 ?
MATMAT02b – UPPGIFT 12
1
y  3x  4
3
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 12
MATMAT02b – UPPGIFT 13
MATMAT02b – UPPGIFT 13
2
y  x6
3
y  6
y  x  4
MATMAT02b – UPPGIFT 14
MATMAT02b – UPPGIFT 15
VAD HETER DENNA LINJE?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 15
VILKET FÖRHÅLLANDE RÅDER MELLAN Y OCH X?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 15
HUR BEROR Y AV X?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 16
a4
MATMAT02b – UPPGIFT 17
70°
20°
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
20°
MATMAT02b – UPPGIFT 17
60°
70°
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
50°
MATMAT02b – UPPGIFT 18
24
OBS!
MATMAT02b – UPPGIFT 18
Hur mycket är y?
Punktens koordinater är 10,7;21,4
MATMAT02b – UPPGIFT 19
MATMAT02b – UPPGIFT 20
MATMAT02b – UPPGIFT 21
y  2 x  3
y  2  (4)  3
y  83
y  11
MATMAT02b – UPPGIFT 22
p
180  v
v
 90 
2
2
v
x
2
v
2  x2
2
p  90  x
v  2x
MÅSTE VARA SAMMA TAL
MATMAT02b – UPPGIFT 22
Alternativ lösning
 180  v 
x  90  
  180
 2 
 180  v 
x  90  
  180  0
 2 
v
x  90  180  90   0
2
x
v
0
2
v
x
2
v
2 x  2
2
2x  v v.s.v
Glenys Minier, 2014-05-06
MATMAT02b – UPPGIFT 23
KVADRERINGSREGLERNA
(a  b)  a  2ab  b
2
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 23
KVADRERINGSREGLERNA
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 24
KONJUGATREGELN
(a  b)( a  b)  a  b
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 25
MATMAT02b – UPPGIFT 25
ETTA - ETTA
1 1 1
 
6 6 36
TVÅA - ETTA
1 1 1
 
6 6 36
ETTA - TVÅA
1 1 1
 
6 6 36
1
a)
12
b ) 11 (1)  11 1 (10)  1  9
jämför
3
1

36 12
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
a) Den ena sidan är x cm. Skriv ett uttryck för den andra sidan.
•Hela omkretsen är 48 cm.
•Halva omkretsen är 24 cm.
•Om ena sidan är x cm, så är den andra sidan…
•… (24 – x) cm
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
b) Skriv ett uttryck för arean y cm².
y  x  (24  x)
y  24 x  x
2
Sidan × sidan
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
c) För vilka värden på x är y = 0?
24 x  x  0
2
x(24  x)  0
x1  0
x2  24
”Nollproduktmetoden”
d) För vilket värde på x är y störst?
x  12
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
e) Vilken är den största arean?
y  24 x  x
24 12  12  288  144  144
2
Största arean är 144 cm²
2
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
f) Vilka värden på x är möjliga?
0  x  24
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
y  24 x  x 2
ymax  144
12
x1  0
6
xsym  12
x2  24
MATMAT02b – UPPGIFT 27
VAD HETER DENNA LINJE?
MATMAT02b – UPPGIFT 28
VAD HETER DENNA LINJE?
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Bok 3bc, sidan 132
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
y  500001,02
y  50000 1,22
y  61000
10
Svar:
Om 10 år är folkmängden 61 000.
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
minska med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
y  50000 0,98
y  50000  0,8170...
y  40853,6403444...
10
Svar:
Om 10 år är folkmängden c:a 41 000.
Exponentialfunktioner
C0a,7
f ( x)  5
xx
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
f ( x)  1C1 ,a2
xx
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
f ( x)  1,2
x
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y  2x  5
y  2x
66
VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
1
2  ( )  1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
67
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD
Svar:
MENAS
x = -1,
MED
y = EN
0 LÖSNING?
•
Y=-x-1
68
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
 y  2x  2

y  x 1
•
 x  1

y  0
Y=-x-1
69
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
 y  2x  2

y  x 1
 x  1

y  0
Om lösningen stämmer i
båda ekvationerna så är
lösningen exakt.
Vi testar om lösningen är exakt:
Första ekvationen
2  ( 1)  2  0
Andra ekvationen
 ( 1)  1  0
Det stämmer! Hurra!
70
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=2x-3
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
71
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=2x+6
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
72
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=x-7
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
73
Logaritmer
Logaritmer
10  7
x
”x är 10-logaritmen för 7”
8 5
x
”x är 8-logaritmen för 5”
Logaritmer
10 77
lg
x7
lg 7  0,845
10
0 ,845
Enligt räknaren…
7
Logaritmer
(1) lg
3  4  lg3  lg 4
(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]
(2)
lg( 4 / 3)  lg 4  lg 3
(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]
(3)
lg 34  4  lg 3
(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]
Logaritmlagar
Exempel:
 
lg 5  3  lg 5
3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
lg( 5  3)  lg 5  lg 3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
5
lg    lg 5  lg 3
3
TESTA!
Logaritmer med olika baser
3  81
4
4  log 3 81
4 är 3-logaritmen för 81
4 är den exponent till 3 som ger 81
4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
Logariter – ett exempel
7  17
x
lg 7  lg 17
x  lg 7  lg17
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
x
Logaritmer – ett exempel
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
lg17
x
lg 7
x  1, 45598364109...
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109
Logaritmer – ett exempel
lg17
 17 
Är x 
och lg   samma sak?
lg 7
 7
Hur kan man kontrollera det?
Negativ exponent
Youtube - Negativ exponent
Negativ exponent
103 = 1000
10
1
 1 
= 0,1  1 
 10 
102 = 100
1
= 10
0
= 1
10
10
10
10
2
3
1 
 1
= 0,01  2 

 10 100 
1 
 1
= 0,001  3 

 10 1000 
Typvärde
Typvärde (kallas även modalvärde) i ett
statistiskt datamaterial det värde som
förekommer flest gånger.
Medelvärde
Ett medelvärde är ett värde som används för att
representera ett genomsnitt för en mängd
värden.
2589478
M 
 6,1
7
På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…
MEDIAN
Medianen är det tal i en mängd som
storleksmässigt ligger i mitten. Av talen
1, 7, 9, 10 och 17 är
9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För
mängder med ett jämnt antal tal definieras
medianen som medelvärdet av de två tal som
ligger i mitten.
MEDIAN
 Följande värden är givna:
6
7
7
18
4
2
0
2
12
Bestäm medianen
4
2
0
2
Svar: Medianen till dessa tal är 6
6
7
7
12
18
MEDIAN
 Följande värden är givna:
7
7
4
2
0
18
12
2
Bestäm medianen
4
2
0
2
27
 4,5
2
Svar: Medianen till dessa tal är 4,5
4,5
?
7
7
12
18
Variationsbredd
Variationsbredd är:
”Det största värdet minus det minsta värdet.”
Exempel:
Värden: 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30
och 39.
Variationsbredd: 39 – 10 = 29
Lådagram
Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett
diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i
form av en låda, som rymmer den mittersta
hälften av materialet.
Q
Q
3
1
25%
Högsta värde
25%
Median
Nedre kvartil
Lägsta värde
25%
Övre kvartil
25%
Lådagram – ett exempel
Exempel på ett lådagram, som visar åldern på
tolv personer som är 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20,
21, 21, 23, 30 och 39 år gamla:
Q1 = 15, Q2 = 19 (median) & Q3 = 22
Lådagram – ett exempel
Dilbar Keram, 2014-12-16
STANDARDAVVIKELSE
Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
x
78  78  68  35  80  74  21
 62 Medelvärde
7
På räknaren: (78+78+68+35+80+74+21)/7 = 62
78-62 =
78-62 =
68-62 =
35-62 =
80-62 =
74-62 =
21-62 =
16
16
6
-27
18
12
-41
(16)² = 256
(16)² = 256
(6)² = 36
(-27)² = 729
(18)² = 324
(12)² = 144
(-41)² = 1681
256+256+36+729+324+144+1681 = 3426
3426/(7-1) = 571
571  23,9
  23,9
STANDARDAVVIKELSE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Beräkna medelvärdet
Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet
Kvadrera alla svar i (2)
Summera alla svar i (3)
Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden
Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Från formelbladet:
STANDARDAVVIKELSE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Beräkna medelvärdet
Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet
Kvadrera alla svar i (2)
Summera alla svar i (3)
Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden
Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Vilken är standardavvikelsen till följande talmängd?
12, 19, 22, 17, 14, 23 & 20
4,059087395...  4,1
STANDARDAVVIKELSE
Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
(78  62)2  (78  62) 2  (68  62) 2  (35  62) 2  (80  62) 2  (74  62) 2  (21  62)2

(7  1)
  23,9
( x1  x) 2  ( x2  x) 2  ( x3  x) 2  ...  ( xn  x) 2

n 1
n

 (x
k 1
k
 x) 2
n 1
I formelsamlingen ser standardavvikelsen ut så här
Normalfördelning
μ = medelvärde, σ = standardavvikelse
x = medelvärde, s = standardavvikelse
MODELLERING – ETT EXEMPEL
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
MODELLERING – ETT EXEMPEL
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7