tentamen i matematik - Lunds Tekniska Högskola

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
TENTAMENSSKRIVNING
ANALYS 1
2005-12-16 kl 8-13
Hjälpmedel: Utdelat formelblad.
Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar.
1. Beräkna
sin 7 x
a) lim
x 0
3x
1 

d) lim  1 

n 
5n 

b) lim
t 0
2t
3t
e 1
c) lim
x 
x 2  2x  3x
2 x  x 4  3x  
 x 2  4x  1 
e) lim 
 x  .
x 
x

4


n
2. a) Vad är absolutbeloppet av talet
1  2i   1  i 2 ?

5i  1  i 3

(0.2)
b) I vilket tal övergår vektorn 1  i om den vrids vinkeln
i positiv led och förstoras i skalan
3
4
8
3
k
(0.3)
2?
c) Lös ekvationen z 3  27i . Svara på formen a  ib.
3. a) Beräkna summan
(0.2/st.)
.
(0.5)
(0.3)
k 2
b) Vad är koefficienten för x 5 i polynomet (2  x)12 ?
(0.3)
c) Bestäm inversen f 1 ( x) till funktionen f ( x)  5 x  1, 0  x  3 .
Ange inversens definitionsmängd.
(0.4)
4. a) Lös ekvationen f ( x)  0 om f ( x)  1  sin 3x  .
3
b) Bestäm tangenten och normalen till kurvan y  e 2 xarctan 2 x 
i punkten med x-koordinaten 0.
5. Bestäm eventuella asymptoter och lokala extrempunkter
x3
till funktionen y 
. Skissera kurvan.
3  x2
(0.5)
(0.5)
(1.0)
Var god vänd!
6.
En bil beger sig vid en viss tidpunkt (t = 0) från Göteborg (punkt A) i riktning
söderut mot Helsingborg (punkt B). Samtidigt avgår ett tåg från Helsingborg
i riktning mot Klippan (punkt C). Bilens hastighet är 80 km/h och
tågets hastighet (p.g.a. elektriska problem) är 50 km/h.
(1.0)
Avståndet mellan Göteborg och Helsingborg antas vara 200 km.
Vinkeln mellan BA och BC är 60  . Bestäm tidpunkten vid vilken
avståndet mellan bilen och tåget är som minst.
Ledning: Använd cosinussatsen b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
GOD JUL!