aij och 2 = - aij och (1 ) = + - c si

1
PITKÄ SYKSY, 20.3. MATEMATIKPROV
25.9.2013
STUDENTEXAMENS NÄMNDEN
LÅNG LÄROKURS
Högst tio uppgifter får lösas. Uppgifter som markerats med en stjärna (*) ger maxi malt 9 poäng, övriga uppgifter maximalt 6 poäng.
2
2
1. a) Lös ekvationen x  6x  2x  9. b) Lös ekvationen 1  x 1  x2
. 
1  x 1  x2
c) Skriv polynomet x2  9 x  14 som en produkt av polynom av första graden. 2. a) För vilka värden på variabeln x får derivatan av polynomet P( x)  x 4  x3  x värdet 1? b) Bestäm alla integralfunktioner till funktionen 4x  cos(4x) . c) Det positiva talet a är 25 procent mindre än talet b. Hur många procent större är talet b än talet a? 3. a) Bestäm närmevärdet för vinkeln mellan vektorerna a  i  2 j och b  3i  j med en tiondels grads noggrannhet. b) För vilket värde på parametern s är vektorerna a  i  2 j och c  si  (1  s) j paral‐ lella? 4. Vi drar en tangent till kurvan y  kx2 och en annan tangent till kurvan y  k ( x  2)2 och båda tangenterna dras genom kurvornas skärningspunkt. För vilka värden på parametern k är tangenterna vinkelräta mot varandra? 5. Från punkten A(1, 1, 0) förflyttar vi oss 9 längdenheter i samma riktning som vektorn i  2 j  2k till punkten B . Från denna punkt förflyttar vi oss 10 längdenheter i samma riktning som vektorn 3i  4k till punkten C. Bestäm koordinaterna för punkten C . 2
6. Bisektrisen till vinkeln C i triangeln ABC skär sidan AB i punkten D. För avstånden mellan punkterna gäller CD  6, AD  4 och DB  3. Bestäm de exakta värdena för längderna av triangelns sidor AC och BC . C
A
A
D
D
C
B B
2
3
7. Beräkna integralen  x  x dx. 0
8. I en två dagars turnering deltog totalt 329 riddare. Första dagen var 302 riddare närvarande och andra dagen 285. Med vilken sannolikhet var en riddare som deltog i turneringen närvarande båda dagarna? 9. I det begränsade området mellan kurvorna y  2e x och y  x2e x placeras en sträcka som är parallell med y‐axeln enligt figuren. Bestäm den största möjliga längden av denna sträcka. Ange svaret både som exakt värde och som närmevärde med två decimaler. 3
10.
10. På ett bord ligger tre lika stora bollar och varje boll vidrör de två övriga. På dessa bollar placeras en fjärde likadan boll, som vidrör alla de tre ursprungliga bollarna. Vilken är konstruktionens höjd? Ange som svar det exakta värdet uttryckt med hjälp av bollarnas radie. 11. Anta att 11.
Bild: Pekka Alestalo 2012
 sin x
, då x  0,

f ( x)   x
 1, då x  0.
1
Beräkna närmevärdet av integralen  f ( x) dx genom att använda trapetsmetoden och fem 0
delintervall. 12. Vi betecknar R( x) 
12.
9 x2  1
. Bestäm gränsvärdet 3x 2  5 x  2
a) lim R( x) x
b) lim R( x) x 1
3
13.
13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet 3 2 inte är ett rationellt tal. 14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är 2 x 2  2 y 2  3xy  2 x  2 y  4  0. a) Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) b) Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna cirkel. (3 p.) c) En rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter skär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) 9. Käyrien y  2e x ja y  x 2e x väliin jäävään rajoitettuun alueeseen asetetaan y-akselin
13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet 33 2 inte är ett rationellt tal. 2 inte är ett rationellt tal. 13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet suuntainen jana, jonka päätepisteet ovat käyrillä. Määritä tämän janan suurin mahdollinen
pituus. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
4
14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är 2 x 22  2 y 22  3xy  2 x  2 y  4  0. 14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är 2 x  2 y  3xy  2 x  2 y  4  0. *14.
a) Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) a) Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) b) Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna 10.b) Pöydällä
on kolme samankokoista palloa, joista kukin koskettaa kahta muuta. Niiden päälle
cirkel. (3 p.) cirkel. (3 p.) asetetaan
neljäs samanlainen pallo, joka koskettaa kaikkia kolmea alkuperäistä palloa. Mic) En rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter c) käEn rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter on rakennelman korkeus? Anna vastauksena tarkka arvo pallojen säteen avulla lausutskär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) skär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) tuna.
d) Är den ursprungliga kurvan en cirkel? (2 p.) d) Är den ursprungliga kurvan en cirkel? (2 p.) 15. Formeln f k ( x)  2kk sin 2kk x definierar för varje k  0,1, 2, funktionen f k : R  R. k k0,10, 2,1,,
15.15.Formeln *15.
2, funktionen määrittelee jokaisella
funktion f k : R  R. Kaava f k ( x)  2 sin 2 x definierar för varje f 0 , f1 och f2 i intervallet [ , ] . (2 p.) a) Rita graferna till funktionerna 
f 0 , f1 och f2 i intervallet [ , ] . (2 p.) a) Rita graferna till funktionerna a) Laske integraalit  f k( x) dx, kun k  0,1, 2. (3 p)

0
f ( x) dx, då k  0,1, 2. (2 p.) b) Beräkna integralerna b) Beräkna integralerna 0 f kk ( x)ndx, då k  0,1, 2. (2 p.)  
(3 p)
b) Määritä lausekkeen An    f k ( x) dx tarkka
n arvo kaikilla n  0,1, 2,
n 
k

0
0
An  
f
(
x
)
dx
n

0
,
1
c) Bestäm det exakta värdet av uttrycket för varje (3 p.) 0 fkk ( x) dx för varje n  0,1,, 22,,
 (3 p.) c) Bestäm det exakta värdet av uttrycket An  k
0 
c) Laske raja-arvo A  lim An . (3 p)
k 0 0
n
d) Beräkna gränsvärdet A  lim An. (2 p.)  An. (2 p.) d) Beräkna gränsvärdet A  nlim
0
n