1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer, forts.

1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer, forts.
c) Potentialbrunnen med ändligt höga kanter. Den ändliga potentialbrunnen är en region, där potentialfunktionen är noll, som begränsas av två potentialsteg. Den kan behandlas på liknande sätt som tidigare
så att man konstruerar vågfunktionerna inom de tre regioner, som begränsar brunnen, och tilllämpa kontinuitetsvillkoren. Resultatet skiljer sig på följande sätt från de tidigare beräkningarna:
1) Emedan brunnen inte är oändligt djup kan den endast innehålla ett ändligt antal kvantiserade energinivåer (se fig. 13.43 och figuren nedan) som beror på brunnens bredd och djup.
2) Då potentialstegen inte är oändligt mycket högre än partikelns energi, så är egenfunktionerna inte
exakt inneslutna i brunnen, utan kan i någon mån intränga i väggarna (se fig. 13.43). Dessutom växer
inträngningsdjupet med energin för det bundna tillståndet.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
1
d) Den enkla harmoniska oscillatorn. Till slut skall vi studera den enkla harmoniska oscillatorn, ett system
som redan studerades av Planck. Egenvärdena och egenfunktionerna, som illustreras i fig. 13.44 (se nedan),
kommer att beräknas i nästa avsnitt. Energierna är kvantiserade, som man väntar
sig av en bunden
potential
(som har diskreta egenvärden), och uttrycks genom formeln En = n + 21 hf = n + 21 ~ω,
n = 0, 1, 2, . . . .
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
2
Skillnaden i energi mellan närliggande nivåer är således hf , vilket stämmer överens med Plancks formel
(E = nhf ), men observera, att nollpunktsenergin är E0 = 12 hf istället för 0 som i Plancks modell, som
var halvklassisk. Som vi har konstaterat, är detta en följd av osäkerhetsprincipen. T.o.m. vid 0 K oscillerar
alltså atomerna och elektronerna i fasta kroppar.
Egenfunktionerna påminner om dem vi fick då vi studerade potentialbrunnarna. De är också stående vågor,
som i likhet med egenfunktionerna för den ändliga potentialbrunnen kan tränga in i potentialfunktionens
väggar. Antalet noder för en given egenfunktion innanför potentialbrunnen är n, varför grundtillståndet
saknar nod.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
3
1.16. Den enkla harmoniska oscillatorn
[Understanding Physics: 13.16-13.17]
Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och
’fjäderkonstanten’ (kraftkonstanten) k är
p2
2
H(p, x) =
+ 21 kx ,
2m
och den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen för systemet kan därför skrivas
~2 d2ψ
2
1
−
+
kx
ψ = Eψ.
2
2m dx2
Liksom förut skall vi lösa ekvationen med en ansats:
ψ = Ae
2
2
βx2
,
2
2
2
βx
som har derivatorna dψ
och ddxψ2 = 4β 2x2Aeβx +2βAeβx = 2β(1+2βx2)Aeβx .
dx = 2βxAe
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
4
Substitution i Schrödinger–ekvationen leder då till
~2
2
2
2β(1 + 2βx ) + 12 kx = E,
−
2m
2
efter division med Aeβx .
Denna ekvation kan också skrivas i formen
2
E+
~ β
m
!
2
+
2
2~ β
− 12 k
m
!
2
x = 0.
Eftersom ekvationen måste gälla för alla värden av x, så måste parentesuttrycken
var för sig försvinna. Av
√
2
2
mk
villkoret 2~mβ − 12 k = 0 följer då, att β 2 = 4mk
,
dvs
β
=
±
2
2
~ .
~
Eftersom egenfunktionerna bör vara ändliga överallt, så måste den positiva roten förkastas, och härav följer
att en lösning till Schrödinger–ekvationen är
√
ψ = Ae
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
−
mk x2
2~
.
JJ J I II ×
5
Energivillkoret E +
~2 β
m
= 0 leder då till följande uttryck för den motsvarande energin
2
E = E0 = −
~ β
~
=−
m
m
eller alltså
r
E0 =
1
2
p
√
2
−
mk
2~
!
,
k
~ = 21 ~ω,
m
där ω =
k/m är oscillatorns klassiska vinkelfrekvens. Det visar sig inte vara möjligt att finna en
sådan lösning till den harmoniska oscillatorns Schrödinger–ekvation, som skulle ha en lägre energi än E0.
Den lösning som vi har funnit, representerar därför systemets grundtillstånd, och E0 är den motsvarande
energin.
Värdet av konstanten A kan beräknas ur normeringsvillkoret
Z
∞
∗
ψ (x)ψ(x)dx = 1
−∞
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
6
med substitutionen u =
1 = |A|
2
mk
~2
Z
1/4
x:
√
∞
e
−
mk x2
~
dx
2
= |A|
~
mk
2
−∞
R∞
Integralen −∞ e
tionen är alltså
−u2
du har värdet
√
√
π , varför A =
√
ψ0 =
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
mk
π~
!1/4 Z
mk
π~
!1/4
∞
e
−u2
du = 1.
−∞
1/4
. Den normerade grundtillståndsfunk-
√
e
−
mk x2
2~
.
JJ J I II ×
7
Vi skall använda oss av detta resultat för att beräkna väntevärdet av x2 i harmoniska oscillatorns grundtillstånd:
Z
2
∞
hx i =
∗ 2
ψ x ψdx
−∞
√
=
mk
π~
√
=
mk
π~
√
där vi gjort substitutionen u =
mk
~
!1/2 Z
∞
√
2 −
x e
mk x2
~
dx
−∞
!1/2
√
1/2
mk
~
!−3/2 Z
∞
2 −u2
u e
du,
−∞
x. Integralen blir
1√
2 π,
h 21 kx2i
och vi får således hx2i =
1
4
q
1 √~
2 mk .
1
1
k
Väntevärdet för den potentiella energin är således hU i =
=
~
=
~
ω
=
m
4
2 E0 , och
väntevärdet för den kinetiska energin är alltså också 12 E0. Den totala energin fördelas alltså alltså lika
mellan kinetisk och potentiell energi, vilket stämmer med den klassiska mekaniken.
De högre energitillstånden skall vi inte studera här.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
8
1.17. Om kvantmekanikens tolkning
Som vi tidigare sett, begränsar osäkerhetsprincipen våra möjligheter att bestämma samtidigt en partikels
position och rörelsemängd. Enligt Bohr var detta en naturlag. Som en förklaring till vågpartikeldualiteten
framlade han 1927 sin komplementaritetsprincip, enligt vilken våg- och partikelegenskaperna är komplementära, dvs varandra uteslutande. Enligt Bohr var det experimentets natur som bestämde om t.ex. en
elektron betedde sig som en partikel eller en våg. Om rörelsemängden för en partikel kunde mätas exakt,
så måste dess position vara osäker. I Köpenhamnstolkningen, som denna beskrivning började kallas, var
alltså en partikels position och rörelsemängd komplementära storheter. Men det fanns dock de som frågade
sig, om inte en partikel ändå kunde ha en bestämd position och rörelsemängd, fast de inte samtidigt kan
mätas.
Einstein ville inte godta kvantmekanikens sannolikhetstolkning. Han sade upprepade gånger att han var
övertygad om att Gud inte spelade tärning. Tillsammans med Podolsky och Rosen konstruerade han 1935
följande tankeexperiment (EPR, A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: ”Can quantum-mechanical description
of physical reality be considered complete?”, Phys. Rev. 47, 777-780) för att belysa sin syn på kvantmekaniken.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
9
Antag, att två partiklar A och B växelverkar med varandra under en viss tid, och sedan rör sig åt olika
håll utan att längre påverka varandra. Populärt kan EPR-experimentet förklaras på följande sätt. Enligt
osäkerhetsprincipen kan vi mäta partiklarnas kombinerade rörelsemängd exakt då de kolliderar, och senare
rörelsemängden för A och positionen för B. Rörelsemängden för B skulle man sedan kunna bestämma
på grund av att den totala rörelsemängden bevaras, och sålunda skulle man känna både positionen och
rörelsemängden för B exakt. Den kvantmekaniska osäkerheten skulle då kunna bevaras endast om A skulle
störas genom mätningen av B:s position, vilket skulle leda till att B:s rörelsemängd inte skulle kunna
bestämmas exakt. Frågan är hur denna störning i såfall skulle överföras från B till A? (sådana tillstånd som
A och B befinner sig i har senare kallats sammanflätade tillstånd).
Vi kan tänka oss två möjligheter för detta: a) Partikeln B kan påverka partikeln A omedelbart på avstånd,
vilket förutsätter kommunikation med en hastighet som överskrider ljusets (detta kallades av Einstein
för ”spöklik fjärrverkan” (spukhafte Fernwirkungen). b) Informationen kanske överförs på ett sätt som
kvantmekaniken inte ger besked om.
Einstein föredrog den senare mekanismen. Han ansåg därför kvantmekaniken vara en ofullständig teori.
Kanske finns det ”dolda variabler”, som vi inte känner till? Bohr ansåg däremot i sitt svar att man inte kan
studera en del av ett system, utan att man måste betrakta det ”sammanflätade” systemet som en helhet,
fastän avståndet mellan de enskilda partiklarna kan vara stort.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
10
Schrödinger skrev också samma år en artikel (”Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik”, die
Naturwissenschaften 23, 807-812, 823-828, 844-849), där han redogjorde för sin syn på den kvantmekaniska
mätteorin.
1964 beskrev John Bell matematiskt hur sådana variabler skulle kunna användas för att göra teorin fullständigare, och utvecklade en olikhetsprincip, med vars hjälp man skulle kunna undersöka deras existens.
Enligt Bell borde det vara experimentellt möjligt att skilja mellan den kvantmekaniska sammanflätningsteorin och teorier som innehåller ”dolda variabler”.
På 1980–talet gjordes experiment av Aspect och andra som baserade sig på Bell’s idéer för att utforska, hur kvantmekaniken fungerar. De moderna experimenten har visat, att mekanismen a) är sannolikast.
Man brukar också numera säga, att kvantmekaniken är en icke-lokal teori (syftar på att påverkan sker
omedelbart). Detta innebär, att alla partiklar i själva verket tillhör samma system, eftersom de kan påverka varandra på avstånd, och det verkar sålunda inte att existera dolda variabler. Experiment som gjorts
under de senaste åren visar att sammanflätning av fotoner i optiska fibrer kan observeras på över 10 km
avstånd. De sammanflätade kvanttillstånden kan också tänkas få praktiska tillämpningar t.ex. vid kommunikation på långa avstånd, och vid beräkningar (kvantkryptografi och kvantdatorer). T.o.m. teleportering
av partikeltillstånd är möjlig.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
11
Kapitel 2. Atomfysiken
[Understanding Physics: 19.1-19.3]
Vi skall nu övergå till att studera atomerna, och visa hur kunskapen om atomernas struktur gradvis ökats
genom användning av kvantmekanik.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
12
2.1. Atommodeller
Då en elektrisk ström passerar genom en gas, kommer atomerna där att joniseras. De elektriskt neutrala
atomerna delar upp sig på negativt laddade elektroner och positivt laddade joner. Det är därför lätt att
föreställa sig, att atomerna innehåller elektroner. Vi vet också att elektronens massa är betydligt mindre
än atomens. Därför är det sannolikt, att atomens positiva laddning står för största delen av massan.
Detta visste man om atomen redan vid början av 1900–talet. Frågan var, hur massan och laddningen var
fördelad i atomen. J.J. Thomson i Cambridge föreställde sig sålunda, att atomen bestod av en jämnt fördelad positiv laddning uppblandad med elektroner, som russin i en pudding. Problemet löstes genom genom
experiment, som utfördes av Ernest Rutherford i Manchester år 1910 tillsammans med Hans Geiger och
Ernest Marsden. De bombarderade tunna guld– och silverfolier med α–partiklar. De mätte sedan spridningsvinklarna, under vilka α–partiklarna avlänkades på grund av Coulomb–växelverkan med laddningarna
i atomerna, och använde dem för att bestämma laddningsfördelningen i atomen.
Om Thomsons ”plumpuddingmodell”skulle stämma, så borde α–partiklarna avlänkas endast obetydligt, då
de passerade genom atomen. Rutherfords experiment visade emellertid, att fastän de flesta α–partiklarna
passerade igenom atomen utan att spridas, så var det några (ungefär 1 på 10000) som spreds mer än 90◦.
Många av dem avlänkades t.o.m. 180◦.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
13
Sannolikheten för att detta skulle inträffa, om laddningarna var jämnt fördelade, uppskattades till 1 på
103500. Rutherford uttryckte saken så, att ”det var som om du skulle ha avfyrat en kula mot en bit
toalettpapper, och den skulle ha studsat tillbaka och träffat dig”.
Vad Rutherfords experiment visade, är att den positiva laddningen i atomen och nästan hela massan är
koncentrerad i en mycket liten volym i centrum av atomen, och att största delen av atomen består av
tomrum. Radien av denna kärna kunde beräknas på basen av de observerade spridningsvinklarna, och
visade sig vara av storleksordningen 10−14m, mer än 10000 gånger mindre än atomens radie.
Vi får alltså en bild av atomen, där en tung, positivt laddad kärna omges av en mycket större volym, som
innehåller elektronerna. Frågan var nu, varför drar inte kärnan till sig alla elektronerna? Man resonerade,
att detta inte skedde, därför att elektronerna rörde sig runt kärnan, såsom planeterna kring solen.
Denna planetmodell tillämpad på den enklaste atomen, väteatomen, visar en elektron med laddningen −e,
som rör sig runt en kärna med laddningen +e (en proton1 ) på avståndet r . Om vi för enkelhetens skull
antar, att elektronen rör sig i en cirkelbana kring kärnan, så kan man sätta centripetalkraften lika med den
2
2
2
e2
,
som
kan
skrivas
som
mv
=
attraktiva Coulomb–kraften och får då 4πe r2 = mv
r
4π r . Elektronens
totala energi är E =
2
1
2 mv
−
e2
4π0 r ,
0
0
och om vi substituerar mv 2 från den första ekvationen i den
1 Rutherford tog namnet från grek. protos (”den första”)
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
14
2
2
2
e
e
e
− 4π
= − 8π
. Alternativt kan vi också uttrycka E med hastigheten v :
andra fås E = 8π
r
r
0
0
0r
E = − 12 mv 2. Som man väntar sig för ett bundet system, är den totala energin negativ.
Även om planetmodellen verkar mycket tilltalande, så fungerar den inte, när man tar elektromagnetismen i beaktande. Som vi vet, alstrar en accelererande laddning elektromagnetisk strålning (sekt. 18.2).
I planetmodellen utsätts elektronerna hela tiden för centripetalaccelerationen och förväntas därför förlora
energi i form av elektromagnetisk strålning. Elektronens totala energi, som avbildas i fig. 19.4, visar att då
elektronen förlorar energi, måste dess banradie minska, och leda till att den störtar in i kärnan.
Mätningar av jonisationsenergin ger inte heller resultat som stämmer överens med planetmodellen. Jonisationsenergin är den energi, som krävs för att helt frigöra en elektron från en atom. Det är en positiv energi,
som tar ut den negativa bindningsenergin, och således frigör elektronen. Samma grundämnes atomer har
visat sig alltid ha lika stor jonisationsenergi.
Detta resultat var oväntat, emedan energin som behövs för att frigöra en elektron från en atom kan anta
vilket värde som helst, om r kan ha ett godtyckligt värde. Därav följer, att elektronerna i en atom endast
kan röra sig i bestämda banor. Att elektronernas banradier och bindningsenergier har fixerade värden,
påminner om kvantiseringen av energin i ett bundet system.
Innan vi går över till att tillämpa kvantmekanik på detta system, skall vi visa hur den klassiska planetmodellen kan modifieras, så att man kringgår problemen med den. Den slutliga modellen, Bohrs atommodell,
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
15
kallas semiklassisk, eftersom kvanthypotesen har kombinerats med den på ett något godtyckligt sätt, så
att teorin ger de rätta svaren. På grund av att denna modell är så enkel att arbeta med, skall vi utnyttja
den till att börja med.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
16
2.2. Vätets spektrum, Rydbergs formel
Då en elektrisk ström passerar genom en gas, så kommer atomerna att absorbera energi genom kollisioner
med elektroner och joner, och sänder sedan ut energin som ljus, dvs elektromagnetisk strålning. Det
utsända ljuset kan delas upp på komponenter med en gitterspektrometer eller en prismaspektrometer.
Detta atomspektrum innehåller diskreta linjer, som är karaktäristiska för en särskild atom. Spektret kan
också användas för att identifiera de undersökta atomerna (spektroskopi). Denna teknik är speciellt lämplig
då man inte kan komma över prov på det undersökta ämnet, såsom t.ex. i astrofysikaliska studier.
Väteatomens spektrum är speciellt enkelt (se nedan). Märk att endast de linjer som har den längsta våglängden (3 eller 4), kan observeras med ögat. Därför detekteras de ofta med hjälp av fotografisk film.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
17
Spektrets linjer uppvisar tydliga regelbundenheter. Linjerna bildar serier, där avståndet mellan på varandra
följande linjer avtar med avtagande våglängd, tills en punkt nås (seriegränsen), där ljusemissionen blir
kontinuerlig. En empirisk formel för de synliga linjerna upptäcktes av Johann Balmer år 1885, och serien
kallas Balmer–serien efter honom. Rydbergs formel (uppkallad efter den svenska fysikern Johannes Rydberg
(1854-1919)), som är allmännare, upptäcktes 20 år före planetmodellen. Tillämpad på Balmer-serien ser
den ut så här:
f
1
1
1
= = RH
− 2 .
λ
c
4
n
Här är RH är en konstant, som kallas Rydbergs konstant för väte. Dess värde är noggrant bestämt:
10967757.6 ± 1.2 m−1. Heltalet n i formeln antar värdet 3, 4, . . . för Balmer-serien. Om t.ex. n = 3,
så får vi λ = 656.47 nm, som är våglängden för den röda linjen i Balmerserien. Värdet n = 4 ger
λ = 486.27 nm, som är den blågröna linjen i Balmerserien, osv. Seriegränsen svarar mot n = ∞, dess
värde är λ = 364.71 nm (ligger i ultraviolett).
Observera, att formeln ger linjerna mätta i vakuum. För att konvertera en vakuumvåglängd λvak till en
våglängd, mätt i luft λluft, används formeln λvak = nλluft, där n är luftens brytningsindex (1.000292).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
18
2.3. Bohrs postulat
Den danska fysikern Niels Bohr (1885-1962) försökte förklara Rydbergs formel genom att förbättra planetmodellen. Han visade att detta lyckas, om man utgår från följande postulat (Bohrs postulat, Phil. Mag.
26, 1 (1913)):
Postulat 1: Istället för ett oändligt antal banor, som är klassiskt möjliga, antar vi att elektronen i en
väteatom endast kan röra sig i banor, vilkas rörelsemängdsmoment L uppfyller villkoret
L = mvr =
nh
= n~ ,
2π
n = 1, 2, 3, . . .
där h betecknar Plancks konstant.
Observera, att om vi skriver postulat 1 med hjälp av elektronens rörelsemängd p fås L = pr = nh
2π , och
nh
h
om vi substituerar p = h/λ (de Broglies hypotes) fås L = pr = λ r = 2π , som kan förenklas till
nλ = 2πr .
Detta postulat kan därför tolkas så, att omkretsen av en tillåten Bohr–bana måste svara mot ett heltaligt
antal de Broglie–våglängder. Detta innebär, att en elektronbana är endast tillåten om en stående de Broglie–
våg kan bildas på dess periferi.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
19
Man kan också förklara varför elektronerna inte kan befinna sig i en bana som inte uppfyller detta postulat:
om det inte ryms ett heltaligt antal vågor på omkretsen av banan, så blir intensiteten noll, eftersom det då
inträffar destruktiv interferens.
Postulat 2: Elektroner i tillåtna banor producerar ingen elektromagnetisk strålning.
Postulat 3: Elektronerna kan hoppa från en tillåten bana till en annan tillåten bana. Då detta sker, utsänds
elektromagnetisk strålning med en bestämd frekvens f , som uppfyller villkoret hf = Ei − Ef , där Ei
och Ef är elektronens energi i den ursprungliga, resp. den slutliga banan.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
20

1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer, forts.

Related documents

Products

Support

1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer, forts.

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib