Elliptiska kurvor inom kryptologi

Examensarbete i Matematik, Naturvetenskapliga fakulteten, Lunds
Universitet
Henrik Andersson
Elliptiska kurvor inom kryptologi
Sammanfattning
Elliptiska kurvor är ett område inom matematiken och talteorin som på senare
år hamnat allt mer i rampljuset. En av anledningarna till detta är att matematiker i mitten på 1980-talet upptäckte att elliptiska kurvor kan användas inom
krypteringstillämpningar vid datorkommunikation. Grunden till detta är att en
elliptisk kurva denierad över en ändlig kropp, t.ex. Zp där p är ett primtal, utgör
en kommutativ grupp.
Många av de algoritmer som tidigare utvecklats för kryptering kan enkelt anpassas till de elliptiska kurvornas aritmetik med ökad säkerhet som följd, detta
behandlas i kapitel 3. i detta kapitel tas även upp det så kallade elliptiska logaritmproblemet, den elliptiska motsvarigheten till det diskreta logaritmproblemet,
som är skälet till att man kan använda elliptiska kurvor för kryptering med öppna
nycklar.
I kölvattnet till de första tillämpningarna inom kryptering följde snabbt andra
tillämpningar inom närliggande områden såsom testning av troliga primtal och
faktorisering av stora heltal, om dessa ämnen handlar kapitel 4 och 5. Kapitel
1 ägnas åt en kort inledning om talteori med tillämpningar medan kapitel 2 behandlar de denitioner och satser som rör egenskaperna hos elliptiska kurvor.
Handledare:
Tomas Claesson
Examensarbete i matematik, 20 poäng, VT 2006
Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF
Lunds universitet
Examensarbete i Matematik, Naturvetenskapliga fakulteten, Lunds
Universitet
Henrik Andersson
Elliptic curves in cryptology
Abstract
Elliptic curves is an area of mathematics and number theory which has recieved
an increasing amount of attention in later years. One of the reasons to this is that
mathematicians in the middle of the 1980's discovered that elliptic curves can be
used in cryptography applications in computer communications. The basis for
this is that an elliptic curve dened over a nite eld, e.g., Zp where p is prime,
gives an abelian group.
A lot of the algorithms earlier developed for cryptography can easily be modied
for the arithmetic of elliptic curves giving increased security, this is the contents
of chapter 3. This chapter also deals with the elliptic logarithm problem, the
elliptic equivalence to the discrete logrithm problem, which is the reason elliptic
curves can be used in public key cryptography.
Accompanying these rst applications in cryptography came applications in the
closely allied areas of primality proving and factoring of large integers, areas
studied in chapters 4 and 5. Chapter 1 contains a short introduction to the applications of number theory while chapter 2 deals with the denitions and theorems
which discribes the properties of elliptic curves.
Handledare:
Tomas Claesson
Examensarbete i matematik, 20 poäng, VT 2006
Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF
Lunds universitet