Kurs PM: TMV142/186 Linjär Algebra VT17
Syfte och Lärandemål
Syfte
Kursens syfte är att, tillsammans med övriga matematikkurser, ge en matematisk allmänbildning
som är så användbar som möjligt i fortsatta studier och teknisk yrkesverksamhet. Kursen skall på
ett logiskt och sammanhängande sätt ge de kunskaper i linjär algebra som är nödvändiga för
övriga kurser inom Z- och TD-programmet.
Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)
Redogöra för innebörden hos den linjära algebrans grundläggande begrepp och
operationer, kunna utföra operationerna och utnyttja detta i problemlösning.
redogöra för sambanden mellan de olika begreppen och utnyttja dessa samband i
problemlösning.
kombinera kunskaper om olika begrepp i praktisk problemlösning.
utnyttja programspråket MATLAB för problemlösning.
Innehåll
Matrisalgebra. Invers matris ekvationssystem. Determinanter, rang och ekvationssystem.
Vektorrum, euklidiska rummet Rn, underrum, linjärt oberoende, bas, dimension, koordinater,
basbyte Linjära avbildningar: Matrisframställning. Tillämpningar på rotationer, speglingar och
projektioner. Avbildningar från Rn till Rm. Nollrum, värderum, dimensionssatsen. Numerisk
lösning av ekvationssystem: Matrisnormer, konditioneringstal, LU-faktorisering. Minsta kvadrat
metoden. Egenvärden, egenvektorer och diagonalisering. Potensmetoden, QR-faktorisering.
Matlabtillämpningar.
Lärare
Kursansvarig: Martin Hallnäs, Matematiska Vetenskaper, rum MVL:2104, email hallnas[at]chalmers.se
Övningsledare:
Grupp A: Oscar Anghammar (email oscar.anghammar[at]gmail.com)
Grupp B: Maria Lindström (email guslinmahi[at]student.gu.se)
Grupp C: Therese Karmstrand (email karmstrand[at]gmail.com)
Grupp D: Martin Hallnäs (se ovan)
Labhandledare: Therese Karmstrand (se ovan), Lorents Landgren (email
lorentslandgren[at]gmail.com), Albin Skilje (email albinskilje[at]hotmail.com) och Quanjiang Yu (email
yuqu[at]chalmers.se).
Kurslitteratur
Lay, Lay, McDonald; Linear Algebra and its Applications, 5th Edition. Boken finns på Cremona.
Det går i princip bra att använda fjärde upplagan av boken, men man ska då vara medveten om att
övningar, kapitel och sidor kan ha bytts ut, tagits bort eller lagts till, och det är ens eget ansvar att ta
reda på hur detta ligger till. Tredje och tidigare upplagor rekommenderas inte.
Program
Undervisningen består av föreläsningar, räkneövningar samt datorlaborationer i MatLab.
Under föreläsningarna går vi igenom ny teori, som illustreras med exempel, enligt planen nedan.
Dessutom har vi två räkneövningar varje vecka där ni får lära er mer om teorin och dess tillämpnigar
genom att lösa problem. Dessutom har ni en datorlaboration varje vecka, där ni får arbeta med
kursens material i en praktisk och yrkesförberedande miljö.
Föreläsningar
För bästa resultat bör man bläddra igenom motsvarande avsnitt i kurslitteraturen inför varje
föreläsning, och sedan läsa igenom sina anteckningar och/eller avsnitten noggrant efter föreläsningen.
Dag
16/1
17/1
20/1
Avsnitt
1.1-3
1.4-5
1.5, 1.7
Innehåll
Introduktion, repetition av linjära ekvationssystem, vektorer
Matrisekvationer och lösningsmängder till linjära ekvationssystem
Linjärt (o)beroende vektorer
23/1
24/1
26/1
1.8-9
2.1
2.2-2.3
Linjära avbildningar
Matriser och matrisräkning
Invers och inverterbarhet
30/1 (fm) 3.1
30/1 (em) 3.2
3/2
3.3
Introduktion till determinanter
Determinanters egenskaper
Cramers regel samt area och volymberäkningar
6/2
7/2
10/2
2.8, 4.1-2
2.8, 4.3-4
2.9, 4.5-4.6
Abstrakta vektorrum och delrum
Baser och koordinater
Dimension av vektorrum och rang av matriser
13/2
14/2
4.7
5.1-2
Byte av bas
Egenvärden och egenvektorer
20/2 (fm)
20/2 (em)
21/2
24/2
5.3-4
4.9, 5.7
6.1
6.2-4
Diagonalisering av matriser
Tillämpningar: stokastiska matriser och differentialekvationer
Avstånd och vinklar, inre produkter och ortogonalitet
Ortogonala projektioner, Gram-Schmidts metod
27/2
1/3
2/3
3/3
6.5-6
7.1
7.2
2.4-5, 6.4
Minstakvadratmetoden
Symmetriska matriser och ortogonal diagonalisering
Kvadratiska former
Matrisuppdelningar och faktoriseringar
6/3
7/3
9/3
Repetition
Repetition
Repetition
Rekommenderade övningsuppgifter
PP står för alla `Practice Problems' i slutet av avsnittet (oftast 2-3 stycken). Jag rekommenderar att du
börjar med att lösa dessa eftersom det ger dig en bra kontroll på att du har förstått de mest
grundläggande begreppen. Därefter bör du prioritera uppgifterna i fetstil. Genom att lösa dessa
uppgifter studerar du begreppen i mer detalj och övar också viktiga tekniker. Övriga uppgifter är
antingen mer teoretiska eller avser tillämpningar. Målet är att du ska lösa de flesta uppgifter nedan.
Se till att alltid vara i fas med kursen; om du märker att du halkar efter, hoppa hellre över de ickefetstilta uppgifterna och återkom till dem senare; det är bättre än att ligga flera avsnitt efter schemat.
Dag
17/1
Uppgifter att räkna
1.1: PP, 3, 9, 13, 17, 23, 19, 29, 33
1.2: PP, 3, 11, 13, 17, 21, 7, 19, 25, 29, 31
1.3: PP, 1, 3, 5, 11, 17, 23, 9, 21, 25, (27)
Uppgifter som demonstreras
1.1: 12, 30
1.2: 4, 20
1.3: 14, 18
19/1
1.4: PP, 1, 9, 11, 13, 23, 19, 31
1.5: PP, 1, 5, 9, 15, 19, 23, 17, 21, 33
1.4: 4, 22, 26
1.5: 8, 18, 30
24/1
1.7: PP, 5, 11, 15, 21, 27, 31, 37
1.8: PP, 1, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 29, 35
1.9: PP, 1, 3, 15, 19, 23, 7, 27, 35
2.1: PP, 1, 7, 10, 15, 27, 5, 10, 11
1.7: 6, 10
1.8: 4, 12
1.9: 18, 26
2.1: 2, 12, 20
2.2: PP, 1, 5, 9, 13, 31, 33, 21
2.3: PP, 1, 3, 7, 11, 33, 13, 15, 27
3.1: PP, 3, 9, 13, 19
3.2: PP, 5, 9, 13, 19, 21, 25, 27, 39, 31
2.2: 4, 14
2.3: 4, 6, 24, 26
3.1: 4, 10, 20
3.2: 8, 24, 34
3.3: P, 1, 9, 11, 19, 23, 17, 27
4.1: PP, 1, 7, 9, 13, 17, 23, 27, 31
4.2: PP, 1, 5, 7, 15, 23, 25, 15, 27, 31
2.8: PP, 15, 23, 25
4.3: PP, 1, 5, 7, 13, 15, 21, 33, 19, 29
4.4: P, 1, 5, 9, 13, 15, 27, 3, 7, 17, 31
3.3: 4, 10, 14
4.1: 2, 6, 12
4.2: 24, 32
2.8: 16
4.3: 8, 24, 34
4.4: 8, 14
2.9: PP, 1, 7
4.5: PP, 1, 11, 13, 19, 21, 27, 29
4.6: PP, 1, 5, 7, 11, 15, 17, 19, 27
4.7: PP, 1, 7, 11, 13, 3, 15
5.1: PP, 3, 11, 15, 17, 21, 31, 23, 25
5.2: PP, 9, 15, 21
4.5: 4, 18, 22
4.6: 2, 8
4.7: 2, 8
5.1: 2, 6, 10
5.2: 2, 10
26/1
31/1
2/2
7/2
9/2
14/2
16/2
21/2
23/2
28/2
2/3
7/3
5.3: PP, 1, 9, 11, 13, 21, 25, 31
5.4: PP, 1, 9, 11, 13
4.9: PP, 1, 3, 5, 9
5.7: PP, 1, 3, 5, 7
6.1: PP, 1, 7, 9, 13, 15, 19, 23, 25, 27
5.3: 4, 8, 12
6.2: PP, 1, 3, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 27
6.3: PP, 1, 3, 9, 11, 13, 17
6.4: PP 1, 1, 3, 7, 9, 17
6.5: PP, 3, 5, 7, 11, 17, 13
6.6: PP, 1, 7a, 7b, 5
7.1: PP, 1, 9, 13, 17, 19, 25, 23, 29, 35
6.2: 2, 8, 12
6.3: 4, 12
6.4: 4, 8
6.5: 4, 8
6.6: 2
7.1: 8, 14, 20
7.2: PP, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 21, 19
2.4: PP, 1, 5, 9, 25, 13
2.5: PP, 1, 7, 9 21
6.4: PP 2, 13, 19
7.2: 2, 4, 10
2.4: 2, 8
2.5: 4, 8
6.4: 14
5.7: 4
4.9: 2
6.1: 2, 4, 10, 16, 28
Datorlaborationer
Datorlaborationerna är ett eget moment om 1,5 hp i kursen och examineras på plats. Det
betyder att man, för att bli godkänd på kursen, måste delta i alla datorlaborationer. Övriga 6
hp examineras genom en tenta i slutet av kursen, se nedan.
Material: Materialet till alla laborationer hittar
ni här(http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/Matlab/AutomationMekatronik/
ht13/), under rubriken Linjär algebra.
Duggor
I kursen kommer det att ges möjlighet att utföra duggor i en nätbaserad miljö som kallas Maple T.A.
Dessa är inte obligatoriska men ger upp till 5 bonuspoäng till tentan. Bonusen är giltig t.om. andra
omtentan på kursen. 7 duggor kommer att hållas under kursens gång och den som är godkänd på
minst 3 duggor får n-2 bonuspoäng, där n är antalet godkända duggor. Duggorna kan göras när och
var ni vill inom följande tidsramar.
Dugga
1
2
3
4
5
6
7
Kan göras under tidsperioden
tisdag 17/1 16:00 - onsdag 25/1 23:59
fredag 20/1 16:00 - onsdag 1/2 23:59
fredag 27/1 16:00 - onsdag 8/2 23:59
fredag 3/2 16:00 - onsdag 15/2 23:59
fredag 10/2 16:00 - onsdag 22/2 23:59
fredag 17/2 16:00 - onsdag 1/3 23:59
fredag 24/2 16:00 - onsdag 8/3 23:59
Mer detaljer finns på kurshemsidan.
Examination
Examinationen består av två delar, dels av en skriftlig tentamen (om 6 hp), dels av laborationerna
ovan (om 1,5 hp). För att bli godkänd måste man bli godkänd på båda delarna! Om man blir godkänd
avgörs betyget av resultatet på tentamen.
Laborationerna examineras genom att labbhandledaren inspekterar vad du gjort och avgör om det är
godkänt.
Tentamen kommer att bestå av en grundläggande del (om 32 poäng) och en överbetygsdel (om 18
poäng), sammanlagt alltså 50 poäng. För att bli godkänd på tentan krävs att man får minst 25 poäng
på den grundläggande delen, inklusive bonuspoäng från duggorna ovan. För att få betyg 4 och 5
krävs dessutom att man får 33 respektive 42 poäng totalt på hela tentamen.
Vid tentamen ska man kunna definiera, förstå och kunna använda alla begrepp och funktioner som
ingår i de relevanta avsnitten i kurslitteraturen (se föreläsningsplanen ovan). Alla satser som ingår ska
kunna formuleras och användas vid problemlösning.
Observera att poäng från överbetygsdelen inte spelar någon roll för att bli godkänd. Dessutom gäller
att man på den grundläggande delen inte kan få mer än 32 poäng, även om summan av ens
tentapoäng och bonuspoäng blir mer än 32. I sådana fall avrundas poängen till 32.
Tider och lokaler för tentor hittas i Studieportalen.
Hjälpmedel på tentamen: På tentan får inga räknedosor användas, oavsett om de är
Chalmersgodkända eller inte. Anders Vretblads ordlista som finns länkad ovan får skrivas ut och tas
med utan anteckningar eller indexeringar. Inga övriga hjälpmedel är tillåtna.
Kursutvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna
genomföra kursutvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och
studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet
diskuteras och rapport skrivs.
Se mallen för Utvärdering av kurser i studentportalen.
Studentrepresentanter för Z:
Alexander Holst (email holstal[at]student.chalmers.se)
Daniel Karlsson (email dkarlss[at]student.chalmers.se)
Clara Nyman (email clarany[at]student.chalmers.se)
Studentrepresentanter för TD:
Filip Eliasson (email elfilip[at]student.chalmers.se)
Ellen Friborg (email frellen[at]student.chalmers.se)
