Komplexa svängningar
Pass 2
I Komplexa tal
Def 1 Med ett komplext tal z menas ett ordnat par
(x, y) av reella tal. Två komplexa tal z1 = (x1 , y1 ) och
z2 = (x2 , y2 ) är lika om och endast om x1 = x2 och
y1 = y2 .
Addition och multiplikation av komplexa tal
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) =
(x1 + x2 , y1 + y2 );
(x1, y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1y2 , x1y2 + x2 y1 ).
Varje komplext tal kan skrivas på formen
z = (x, y) = x + iy,
där i = (0, 1) är en rot till ekvationen i2 = −1 och x, y
är reella tal.
Talet x kallas realdelen av z och betecknas Re z; talet
y kallas imaginärdelen och betecknas Im z.
Absolutbeloppet |z| av ett komplext
p tal z = x + iy är
det ickenegativa reella talet |z| = x2 + y 2.
Argumentet ϕ av ett komplext tal z = x + iy är ett
reellt tal ϕ (vinkel) sådant att
½
x = |z| cos ϕ
y = |z| sin ϕ.
Varje komplext tal z kan skrivas på polär form
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ≡ |z|eiϕ .
1
Eulers formler
eit + e−it
cos t =
= Reeit
2
eit − e−it
sin t =
= Imeit
2i
II Komplexa talföljder
Ex. 1 Aritmetisk följd.
an = b + dn, b, d ∈ C
Ex. 2 Geometrisk följd.
gk = z k
z = reiθ ⇒ gk = rk eikθ
III Rekursionsekvationer och svängningar
Betrakta en rekursionsekvation med reella koefficienter
xn = Cr n
xn + axn−1 + bxn−2 = 0, a, b ∈ R
r1,2 = α ± iβ = ρe±iθ
⇒ r2 + ar + b = 0 ⇒
eller
r , r är reella tal
1 2
Lösningen kan skrivas på formen
a)
iθ )n + C (ρe−iθ )n
xn = C1 (ρe
2
¢
¡
inθ
n
=
ρ C1 e + C2 e−inθ
= ρn (A cos nθ + B sin nθ)
b)
xn = C1r1n + C2 rn
2
IV Tidskontinuerliga svängningar
A) Harmoniska
d2 u
+ w2u = 0
2
dt
⇒ u(t) = A cos(wt+δ), A− amplitud, δ−fasförskjutning
f (t) = Aeiwt
B) Dämpade svängningar
d2 y
dy
+
a
+ by = 0
dt2
dt
y(t) = est ⇒ p(s) = s2 + as + b = 0 ⇒ s1,2
Lösningen blir
y(t) = C1 es1 t + C2 es2t
Def 3.1 En funktion av typen
u(t) = Aest ,
A, s ∈ C
= Aeσt eiwt , A ∈ C, σ, w ∈ R
kallas för en komplex svängning med komplex frekvens
s och komplex amplitud A.
s = σ + iw
−σ - dämpning; w - vinkelfrekvens.
3
