Malmö högskola
Lärarutbildningen, NMS
Matematik i vår omvärld, hösten 2006
Geometri i vardagen
Ett inspirationsmaterial med inslag
av både ny och gammal teknik
Innehållsförteckning
Inledning..................................................................................................................................... 3
Teori ........................................................................................................................................... 4
Genomförande ............................................................................................................................ 5
Geometri i vardagen ............................................................................................................... 5
Likformighet och avståndsmätning ........................................................................................ 9
Diskussion ................................................................................................................................ 11
Källförteckning......................................................................................................................... 12
Bilaga 1 – Programmet DigitiseImage ..................................................................................... 13
2
Inledning
Hur mycket färg går åt för att måla om huset? Vilken är den kortaste vägen till skolan? Hur
kan vi mäta höjden på ett träd eller byggnad?
Det finns många praktiska tillämpningar av geometri, inom många olika områden och yrken
som t.ex. bygg, omvårdnad och restaurang där det krävs grundläggande kunskaper om
begrepp så som vinklar, area, volym, Pythagoras sats och likformighet. De här begreppen,
samt hur man använder dem i natur, konst och arkitektur tas upp i gymnasieskolans kurs A
och B.
Vi upplever att många elever saknar konkretisering i matematikundervisningen. Den upplevs
som abstrakt och svårfångad. Hur kan man öka elevernas intresse för och kännedom om
nyttan med goda kunskaper i geometri? Kan man genom att konkretisera undervisningen
fånga elevernas intresse för den geometri som finns i vår omvärld? Många elever idag har
egna mobiltelefoner, och de flesta med inbyggd kamera. Kan vi använda oss av detta i vår
undervisning? Kanske har några elever tillgång till digitalkamera?
I det här arbetet vill vi ge några exempel på hur man kan belysa och fördjupa några olika
geometriavsnitt med hjälp av digitala hjälpmedel. Vi vill också visa några exempel på hur
man med enkla hjälpmedel kan beräkna olika avstånd med hjälp av likformighet. Vi har
inriktat vårt arbete mot gymnasieskolans matematikkurser A och B, men vi tror att det även
kan användas på både högre och lägre stadier än detta.
Syftet med det här arbetet är att på ett konkret sätt visa att matematik är en del av elevernas
vardag och att den finns överallt. Vi kommer därför att exemplifiera
användning av digitalt medium (digitalkamera eller mobiltelefon) och datorprogram
för att belysa t.ex. skal-, längd- och areabegreppen
avståndberäkning med hjälp av traditionella hjälpmedel och likformighet.
3
Teori
Geometri är ett av momenten i A-kursen och behandlar bl.a. vinklar, area- och
volymbegreppen, Pythagoras sats, och hur detta återfinns i naturen samt inom konst och
arkitektur (se t.ex. Gennow m.fl., 2002).
I gymnasieskolans kursplan för matematik A står det att eleven skall:
ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer […]
vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan
använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning […]
ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar
(Skolverket, 2006a)
Även i kursplanen för matematik B nämns geometri. Eleven skall
kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri
(Skolverket, 2006b)
Vi har studerat några olika läromedel. Vad tar man upp i geometriavsnittet?
I de flesta läroböcker för Matematik kurs A tar man upp olika geometriska former, så som
trianglar, fyrhörningar och cirklar. Man går igenom beräkning av area och volym. En del av
uppgifterna är kopplade till praktiska tillämpningar, så som beräkning av markyta, boyta osv.
(se t.ex. Gennow m.fl., 2002). Dock har vi inte hittat några uppgifter som innebär att praktisk
genomföra olika mätningar av t.ex. byggnaders höjd eller liknande.
Skalbegreppet gås igenom i matematik kurs A. Skala på kartor och bilder gås igenom.
I kurs B kommer man in på likformighet och koordinater för beräkning av avstånd. I vissa
läromedel finns det uppgifter med mer praktisk anknytning, som avståndsmätning med hjälp
av likformighet (se t.ex. Brolin & Heikne, 2003). Vi saknar dock uppgifter som innebär att
praktiskt gå ut och testa kunskaperna i verkliga situationer.
4
Genomförande
Vi vill här beskriva hur vi genomförde några praktiska undersökningar i verkligheten. I det
första fallet handlar det om hur vi arbetade med digitala bilder för att belysa olika avsnitt i
geometri. I det andra fallet beskriver vi hur vi med enkla medel och likformighet beräknar
olika avstånd.
Geometri i vardagen
Utrustade med digitalkamera begav vi oss ut på vandring för att söka efter några spännande
objekt att fotografera. Vi tog ett antal bilder på olika byggnader med skilda geometriska
former och på lite olika situationer som vi träffade på.
När vi var klara, förde vi över bilderna till en dator, och studerade dem i ett bildspel.
Vi valde ut två bilder att arbeta vidare med (se bild 1 och 2).
Bild 1 Olika geometriska former
Bild 2 En vanlig stadsbild
För att få lite bättre underlag att arbeta med, använde vi ett vanligt bildbehandlingsprogram,
detta fall IrfanView, för att klippa ut delar av bilderna (se bild 3 och 4). Sedan diskuterade vi
vilken typ av frågor som var lämpliga i anslutning till respektive bild.
5
I bild 3 finns det många geometriska former att arbeta med. Här kan man t.ex. tänka sig
följande typ av frågor:
Vilka geometriska former kan man se?
(geometriska begrepp)
Vilken diameter och/eller radie har de olika
halvcirklarna? (geometriska begrepp)
Vilken omkrets/area har de olika fönstren
om man vet skalan på bilden? (omkrets,
area)
Hur stor andel av bilden utgörs av fönster?
(bråkräkning, procenträkning)
Vilken vinkel har ovandelen? (vinklar)
Vilken höjd har byggnaden? (höjd)
Bild 3 Underlag för olika typer av beräkningar
Bild 4 föreställer en vanlig stadsbild med många olika objekt. Vi tänker oss först och främst
använda den för att befästa begreppet skala. Några frågeställningar kan då bli:
Hur kan man bestämma skalan på bilden?
Hur lång är den röda bilen?
Hur höga är flaggstängerna?
Gäller samma skala i hela bilden?
Bild 4 Befästa skalbegreppet
Ett sätt att mäta avstånd på en digital bild, är att använda ett datorprogram, t.ex.
DigitiseImage. Detta program är gratis att använda, så kallat freeware, enkelt att installera och
att lära sig använda (se bilaga 1).
Programmet kan användas för att bl.a. visa på hur man kan arbeta med koordinater för att
beräkna olika avstånd. Om vi dessutom vet storleken på något i bilden, kan vi använda det för
att ange en egen skala, för att t.ex. få alla koordinater uttryckta direkt i någon lämplig
längdenhet.
6
Låt oss säga att vi arbetar med bild 3, och vill ta reda på hur hög byggnaden är. När vi tog
bilden passade vi på att mäta storleken på ett av fönstren. Dessa mått kommer nu till
användning om vi t.ex. vill ange alla koordinater i enheten meter.
Första steget är att läsa in bilden (File, Open). Vi vill ange vår skala, så vi klickar på knappen
Choose Scale (se bild 5).
Bild 5 Utgångsläget innan vi angivit vår egen skala.
Nu vill programmet att vi anger var vi vill ha origo. Vi väljer nedre vänstra hörnet i nedre
vänstra fönstret i bilden. Eftersom vi vet bredden på fönstret markerar vi bredden och anger
x-skalan till 1.8 (observera decimalpunkten) (se bild 6).
Bild 6 Bredden på fönstret är 1,8 meter.
På motsvarande sätt anges längdskalan i y-led till 2.4 (se bild 7).
7
Bild 7 Höjden på fönstret är 2,4 meter.
Nu kommer alla punkter vi lägger in i bilden att anges i enheten meter i förhållande till vårt
valda origo.
Vi ville mäta husets höjd, så vi sätter in två punkter i bilden genom att klicka med vänster
musknapp på högsta respektive lägsta punkt på byggnaden. Koordinaterna för punkterna ges i
rutan till höger i programmet (se bild 8).
Bild 8 Skalstrecken syns nere till vänster och koordinaterna till höger i bilden.
Höjden kan nu beräknas som differensen i y-led, dvs. 15,30 - (-1,41) = 16,71 meter. Eftersom
vi kan ha varit lite godtyckliga i våra klickningar, avrundar vi till 17 meter, vilket vi bedömer
som ett rimligt mått på byggnadens höjd.
8
Likformighet och avståndsmätning
Denna uppgift är en uteaktivitet. Med hjälp av tumstock, måttband och ett snöre kan man
beräkna avståndet till objekt som befinner sig långt borta eller på otillgängliga platser.
Vi begav oss ut till hamnen i Malmö för att testa detta i verkligheten. Där hittade vi en boj ute
i vattnet som vi ville beräkna avståndet till (se figur 1).
boj
(m)
x
2,18
165 – 2,18
2,0
Figur 1 Mätning av avståndet till bojen
Tumstocken (2,0 m) la vi ned på marken vinkelrät mot kajen (se bild 9). Måttbandet (5 m) la
vi parallellt med kajen. Med snöret bildade vi vinkeln mellan änden på tumstocken och bojen.
Sedan läste vi av avståndet vinkelrät mot tumstocken och fick 2,18 m. Sist mätte vi avståndet
längs med kajen från tumstocken till en punkt vinkelrät mot bojen och fick det till 165 m (se
bild 10).
Likformighet ger oss nu sträckan x enligt
x
2,0
2,0165 2,18
x
150 m
165 2,18 2,18
2,18
Med Pythagoras sats kan vi sedan beräkna hypotenusan i den större triangeln, och därmed
avståndet från kajen till bojen. Vi får avståndet till
1502 (165 2,18) 2 220 m
Bild 9 Tumstocken läggs på marken
Bild 10 Mätning av avståndet längs kajen
Vi försökte även mäta höjden på en av byggnaderna vid kajen enligt samma princip med
likformiga trianglar (se figur 2). I detta fall använder vi topptriangeln. Vi började med att
9
mäta avståndet från huset till en lämplig punkt och fick 15 m (bild 11). Där satte vi
tumstocken (2,0 m) lodrät mot marken. Snöret höll en av oss fast i toppen av tumstocken.
Med måttbandet mätte vi sedan avståndet från tumstocken till snöret så att vi såg toppen av
byggnaden längs med snöret (bild 12).
(m)
Byggnad
x
2,0
15
1,66
Figur 2 Mätning av höjden på en byggnad
Bild 11 Avståndet till byggnaden
Bild 12 Mätning av topptriangeln
Likformighet ger nu att
x 15 1,66
2,0(15 1,66)
x
20 m
2,0
1,66
1,66
10
Diskussion
Precis som med allt annat inom matematiken så finns det för och nackdelar med denna typ av
uppgifter. Vi tar här upp några av de problem man kan stöta på, när man låter eleverna arbeta
med de här uppgifterna.
Ett problem som är värt att nämna är ett mycket vanligt problem inom dagens undervisning i
skolan, nämligen tiden. Eftersom man som lärare har en läroplan att följa och en bok att gå
igenom, så kan det ibland vara svårt att lägga in sådana här uppgifter, då det inte finns någon
tid till detta. När man ger eleverna en uppgift som denna, där de ska ut och fotografera, så
krävs det ett visst antal lektioner, och det är inte alltid man har den tiden som lärare på
gymnasiet. En lösning till detta är att man ger eleverna i läxa att på fritiden ta ett visst antal
bilder, och att man sedan på en eller två lektioner låter eleverna arbeta med bilderna i t.ex.
DigitiseImage.
En annan sak som vi tror kan komma att bli ett problem när man gör denna uppgift, är att när
eleverna ska arbeta med olika dataprogram, som t.ex. DigitiseImage, så finns risken att de inte
förstår hur programmet fungerar. Detta kan leda till att eleverna tappar intresset för
uppgifterna, då de inte förstår hur programmet fungerar. För att undvika detta problem tycker
vi att det är väldigt viktigt att man som lärare, i samband med att man presentera uppgiften,
noggrant går igenom hur programmet fungerar. Det är även viktigt att man berättar för
eleverna hur man kan använda programmet för att ta reda på olika saker inom matematiken,
och då inte minst inom geometrin.
Fördelen med den här typen av uppgifter, är att eleverna för möjlighet att själva upptäcka hur
mycket matematik som finns runt omkring dem i deras omgivning, inte minst hur mycket
geometri som finns runt omkring dem inom konsten och arkitekturen. Den ger också eleverna
möjlighet att komma ifrån läroböckerna för en stund, vilket vi tror vara väldigt nyttigt för
eleverna.
11
Källförteckning
Brolin & Heikne. (2003). Matematik 3000 kurs B grundbok. Natur och Kultur. Stockholm.
Gennow m.fl. (2002). Exponent A gul. Gleerups utbildning AB, Värnamo.
Skolverket. (2006a). Kursplan för Matematik A. [WWW]:
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=5&skolform=21&id
=3202&extraId=. Hämtat 2006-11-17.
Skolverket. (2006b). Kursplan för Matematik B. [WWW]:
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=5&skolform=21&id
=3209&extraId=. Hämtat 2006-11-17.
12
Bilaga 1 – Programmet DigitiseImage
Programmet kan laddas ned från adressen http://maths.sci.shu.ac.uk/digitiseimage/ och är
gratis att använda, så kallat freeware.
Själva installationen startas genom att dubbelklicka på installationsfilen, och sedan följa
instruktionerna.
Det finns ett problem med DigitiseImage: programmet är gjort för amerikanska
landsinställningar, vilket gör att koordinater m.m. anges på ett felaktigt sätt på en dator med
svenska landsinställningar. Det finns dock ett botemedel:
Öppna Kontrollpanelen i Windows.
Välj Nationella inställningar, och välj Engelska (USA) i listan.
Nu kommer allt att fungera, även kopiering till Microsoft Excel, om det blir aktuellt.
Tänk bara på att ändra tillbaka till svenska inställningar, när arbetet är klart.
13
