En sammanfattning av En första kurs i mekanik

En sammanfattning av
En första kurs i mekanik
Tony Burden
Institutionen för mekanik,
KTH, Stockholm
Version 0.04
april 2005
Förord
Denna lunta är en sammanfattning av kursboken, ‘’A First Course in Mechanics” av
Mary Lunn, för kursen 5C1105 Mekanik för datorteknik vid KTH. Sammanfattningen
förutsätter att teknologerna har kursboken till hands när de studerar. Några tillägg
har gjorts utifrån föreläsningarna och för det mesta ges dessa tillägg inom parentes.
Sammanfattningen är TILLÅTEN SOM HJÄLPMEDEL vid skriftlig examination
inom kursen 5C1105.
1
Contents
1 Newtons lagar
3
2 Centralrörelse
7
3 Energi
10
4 Roterande referensramar
15
5 Partikelsystem
17
6 Stela kroppar
19
A Appendix
20
2
1
Newtons lagar
1.1
Inledning
Johannes Kepler analyserade Tycho Brahes mycket omfattande och noggranna observationer av planeternas och stjärnornas rörelser och formulerade tre lagar:
1. Varje planet rör sig i en ellips med en brännpunkt i solen.
2. Den yta som en rak linje från solen till en planet sveper per tidsenhet är konstant.
3. För varje planet är kvadraten på omloppstiden proportionell mot kuben av den
elliptiska banans storaxel.
Dessa lagar sammanställer empirisk information om planternas banor men de avlsöjar
inte de rörelselagar som bestämmer dessa banor.
Isaac Newton formulerade lagar och modeller som kunde förutsäga de banor som
Brahe och Kepler hade observerat. Dessa problemställningar diskuterades flitigt i The
Royal Society i London under 1600-talet och det är oklart i vilken grad, om någon,
Halley, Hooke och Wren med flera har bidragit till Newtons arbete. 1686 publicerade
Newton sina tre lagar i ‘’Principia mathematica philosophiae naturalia”:
1. Varje kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om
den ej tvingas av påverkande krafter att förändra detta tillstånd.
2. Ändringen i rörelsekvantiteten är proportionell mot tryckande kraften och sker
längs den räta linje i vilken denna kraft verkar.
3. Motverkan är alltid motsatt och lika stor som verkan: eller två kroppars ömsesidiga verkningar på varandra äro alltid lika stora och riktade åt motsatt håll.
(Ur den svenska översättningen av C.V.L. Charlier, 1927, 1931.) Dessutom formulerade
Newton en modell för gravitationskraften, eventuellt samtidigt som eller i diskusion
med de andra i Royal Society. Långt efter Newton och Halley hade dött återkom
Halleys komet precis när Newton hade förutsagt att den skulle göra det.
Avgränsningarna till det giltiga tillämpningsområdet för Newtons lagar ges av
kvantfysikaliska och relativistiska fenomen.
1.2
Beskrivning av rörelse
Definition 1.1 En partikel är en så kallad punktmassa som har massa men inte volym
eller form.
En partikels lägesvektor skrivs,
~r = ~r(t).
Den beror på tiden och beskriver partikelns bana genom rummets tre dimensioner.
3
Definition 1.2 En partikels hastighet är,
~v =
d~r
= ~r˙ ,
dt
och dess acceleration är,
d2~r
= ~¨r.
dt2
Hastighet (eng.: velocity) och acceleration är vektorer. (Hastighetsvektorns belopp,
|~v | = v, kallas fart (eng.: speed). Observera att v = |~r˙ | =
6 ṙ generellt.)
~a =
Exempel 2 Rörelse på en cirkel med θ̇ = ω konstant.
~r = R cos θ ı̂ + R sin θ ̂
~r˙ = −Rθ̇ sin θ ı̂ + Rθ̇ cos θ ̂
~¨r = −Rθ̇2 cos θ ı̂ − Rθ̇2 sin θ ̂
(Se också avsnitt 2.2.)
1.3
Krafter
En kraft har både belopp och riktning och måste anges av en vektor. (En kraft verkar
dessutom vid en angreppspunkt men inledningsvis är angreppspunkten den partikel
vars rörelse vi studerar.)
Exempel a Gravitationskraften:
Gm1 m2
r̂.
F~ = −
r2
Kraften drar partiklarna mot varandra.
Exempel b Tyngdkraften på jordens yta:
F~ = − mg k̂,
där k̂ pekar vertikalt uppåt och,
g = 9,81 m/s2 .
1.4
Newtons andra lag
Definition 1.3 Ett tröghetssystem är en referensram i vilken Newtons lagar gäller.
(Detta utvecklas vidare i avs 1.7 och kap 4.)
4
NLII Newtons andra lag
m~¨r =
X
F~i = F~ .
i
En partikels acceleration, multiplicerad med dess massa, är lika med summan av alla
krafter som verkar på partikeln. Acceleration och massa är vektorstorheter med både
belopp och riktning.
Definition 1.4 En partikels röreslsemängd är,
p~ = m~r˙ = m~v .
Newtons andra lag kan nu skrivas,
X
d
p~ =
F~i = F~ .
dt
i
Ändringen med tiden av en partikels rörelsemängd är lika med summan av alla krafter
som verkar på partikeln.
1.5
Rörelse i en dimension
Exempel 1 Den enklaste modellen för en motståndskraft (eng.: drag) vid rörelse
genom luft, vatten eller någon annan fluid är,
F~ = − λ ~v .
(Detta gäller främst vid låga hastigheter. Mer precist ska reynoldstalet för rörelsen
vara av storleksordning 1 eller mindre.)
Exempel 2 Den enklaste modellen för den kraft som ett fjäder verkar med är,
F~ = − k(x − a)ı̂,
där k är fjäderkonstanten och x = a är partikelns läge då fjädret inte är spänt. Denna
relation kallas Hookes lag. (Det kan vara intressant att notera att kraften i ett elastiskt
snöre ges av Hookes lag för x > a men försvinner för x < a förutsatt att snöret dras
ut när x ökar.)
Exempel 3 Den enklaste modellen för dämpning i ett fjäder är en motståndskraft,
F~ = − r ẋ ı̂ .
(Blanda inte ihop dämpningskoefficien r med beloppet av lägesvektorn r = |~r|.)
5
Problemlösning
Exemplena i bokens första kapitel visar att det finns fyra tydliga steg när ett problem
ska lösas inom mekanik.
1. Rita ett diagram som visar dels samtliga krafter dels koordinatsystemet med dess
origo. (Detta steg är så viktigt att det skulle kunna presenteras som två steg med
kraftdiagrammet och koordinatsystemet var för sig.)
2. Ställ upp rörelseekvationen, eller ekvationerna, med utgångspunkt i Newtons
andra lag. (Andra lagen är en vektorekvation så den riktning eller komponent
som en skalär ekvation representerar måste tydligt anges.)
3. Lös differentialekvationen, eller ekvationerna, och utnyttja de begynnelsevillkor
som är givna.
4. Tolka den matematiska lösningen som en modell av en fysikalisk verklighet. (Även
detta steg kan sägas innehålla två delar; tolkning av matematik och diskussion
av den ursprungliga modellen.)
(Dessutom ska man kontrollera att mer eller mindre invecklade matematiska uttryck
har korrekt fysikalisk dimension.)
(Det är varje lärares erfarenhet att detta struktuerade sätt att lösa problem hjälper
nybörjare att undvika de vanliga fel som nybörjare kan göra. Dessutom är det klart
bevisat genom forskning att struktuerad problemlösning möjliggör för både nybörjare
och experter att lösa svårare problem än de annars skulle kunna lösa. Riktlinjerna
ovan utgör normen vid granskning av kursdeltagarnas lösningar inom kurs 5C1105.)
1.6
Rörelse i två eller tre dimensioner
(Detta avsnitt i kursboken innehåller enbart exempel, d v s problem snarare än teori.)
1.7
Rörliga referensramar
Sats 1.1 Låt S vara en referensram i vilken Newtons lagar gäller, d v s S är ett
tröghetssystem (definition 1.3). En annan referensram S0 som rör sig med konstant
~ relativt S är också ett tröghetssystem.
hastighet U
(Medan man håller på att utveckla sin förståelse kan man tänka ‘koordinatsystem’
i stället för ‘referensram’. Referensram är dock ett mer generellt begrepp eftersom
vi kan definera många olika koordinatsystem för att beskriva rörelse i en och samma
referensram. Kursboken skiljer inte helt mellan dessa två begrepp.)
Sats 1.2 En referensram S0 , O0 x0 y 0 z 0 , är ett tröghetssystem om,
(i) O0 rör sig längs en rak linje med konstant hastighet i ett känt tröghetssystem S,
O x y z, och
(ii) axlarna O0 x0 y 0 z 0 i S0 har konstanta riktningar relativt axlarna O x y z i det
kända tröghetssystemet S.
6
2
Centralrörelse
2.1
Centrala krafter och rörelsemängdsmoment
Gravitationskraften mellan två kroppar, t ex jorden och solen, är,
GM m
,
r2
(2.1)
där M och m är de två kroppars massor, r är avståndet mellan dem och,
G = 6,67 × 10−11 Nm2 /kg2 .
Definition 2.1 En central kraft som verkar på en partikel beror enbart av partikelns
lägesvektor ~r = r r̂ och kan skrivas i formen,
F~ = F (r) r̂,
(2.2)
när origo väljs att ligga i kraftens centrum.
När en partikel rör sig under påverkan av en central kraft blir Newtons andra lag
för partikeln,
m~¨r = F (r) r̂.
(2.3)
Definition 2.2 En partikels rörelsemängdsmoment med avseende på punkten O är,
~ O = ~r ∧ m~v ,
L
(2.4)
där ~r är partikelns lägesvektor, när punkten O och origo sammanfaller, och ‘∧’ betecknar vektorprodukten mellan lägesvektorn och partikelns rörelsemängd p~ = m~v .
(Detta är inte den mest generella definitionen av detta viktiga begrepp men i detta
kapitel betraktar vi enbart rörelsemängdsmoment med avseende på kraftcentrum och
vi väljer alltid origo i detta kraftcentrum.)
Sats 2.1 När en partikel rör sig under påverkan av enbart en central kraft med
kraftcentrum O;
1. partikelns rörelsemängdsmoment med avseende på O är konstant, och
2. partikeln rör sig i ett plan som passerar genom O och som har normalriktning
~ O.
parallell med L
Om LO = 0 är partikelns bana en rak linje genom O.
7
2.2
Rörelseekvationerna i cylinderkoordinater (2-dim.)
När lägesvektorn skrivs i formen,
~r = r r̂,
blir hastigheten,
~r˙ = ṙ r̂ + rθ̇ θ̂,
(2.7)
och accelerationen,
~¨r = (r̈ − rθ̇2 ) r̂ + (rθ̈ + 2ṙθ̇) θ̂
= (r̈ − rθ̇2 ) r̂ +
1 d 2
(r θ̇) θ̂.
r dt
(2.8)
När partikeln rör sig under påverkan av en central kraft blir Newtons andra lag,
"
1 d 2
m (r̈ − rθ̇ ) r̂ +
(r θ̇) θ̂
r dt
#
2
= F (r) r̂,
(2.9)
med r-komponent,
m(r̈ − rθ̇2 ) = F (r),
(2.10)
m d 2
(r θ̇) = 0.
r dt
(2.11)
och θ-komponent,
Rörelsemängdsmomentet är,
~ O = m r2 θ̇ n̂,
L
där n̂ = r̂ ∧ θ̂ är den konstanta enhetsvektor som anger normalen till det plan som
partikeln rör sig i.
Sats 2.2 När en partikel rör sig under påverkan av enbart en central kraft med
kraftcentrum O;
~ O | = mh, där
1. rörelsemängdsmomentets belopp är konstant, |L
r2 θ̇ = h,
(2.12)
2. och r-komponenten av Newtons andra lag kan skrivas i formen,
h2
m r̈ − 3
r
2.3
!
= F (r),
(2.13)
Banberäkningar
Sats 2.3 När en partikel påverkas av enbart en central kraft bestäms dess bana av,
F (1/u)
d2 u
+ u = −
,
2
dθ
mh2 u2
där u = 1/r.
8
(2.14)
Bevis När r(t) byts ut mot 1/u(θ) ges den radiella komponenten av hastigheten
av,
ṙ = − h
du
,
dθ
(2.15)
och dess tidsderivata av,
d2 u
.
(2.16)
dθ2
Ekvation (2.13) med ekvation (2.16) ger ekvation (2.14).
Gravitationskraften mellan en partikel och en sfäriskt symmetrisk kropp med massa
M är densamma som mellan partikeln och en partikel med massa M , förutsatt att partikeln befinner sig utanför kroppen. Det är som om hela kroppens massa var fokuserad
till dess mittpunkt.
r̈ = − h2 u2
Example 1 För en partikel som rör sig under gravitationskraften (2.1) blir rörelseekvationen (2.14),
γ
d2 u
+ u = 2,
2
dθ
h
där γ = GM . Den allmänna lösningen till denna ekvation kan skrivas i formen,
γ 1
= u = 2 1 + e cos(θ + ε) .
r
h
(2.17)
Denna form visar att partikelns bana är en cirkel, en ellips, en parabel eller en hyperbel
beroende på värdet hos eccentricitetet e. Fasvinkeln ε bestämmer hur banan ligger
relativt linjen θ = 0. Se appendixet.
2.4
Cirkulära banors stabilitet
(Detta avsnitt ingår inte i kursen.)
2.5
Andra exempel
(Detta avsnitt i kursboken innehåller enbart exempel, d v s problem snarare än teori.)
9
3
3.1
Energi
Rörelse i en rumsdimension
I detta avsnitt (3.1) betraktar vi en partikel som rör sig i en enda dimension under
påverkan av en kraft som inte beror på mer än partikelns läge. Newtons andra lag
lyder,
mẍ = F (x).
(3.1)
Partikelns rörelseenergi är,
1
mẋ2
2
=
1
mv 2 .
2
Det arbete som kraften utför på partikeln kan beskrivas som potentiell energi hos
partikeln.
Definition 3.1 Den potentiella energi, V (x), som en kraft F (x) ger upphov till är,
V (x) = −
Z
x
F (x0 )dx0 ,
vilket innebär att,
F (x) = −
dV
.
dx
Den potentiella energin, V (x), innefattar därmed en godtycklig additiv konstant. (Ett
byte från V (x) till V (x) + C saknar fysikalisk betydelse.)
Sats 3.1 När den totala kraft som verkar på partikeln ges av en potentiell energi är
partikelns totala energi konstant,
1
mẋ2
2
+ V (x) = E
= konstant,
där E är partikelns totala energi.
Tyngdkraften på jordens yta.
När x-axeln väljs att peka vertikalt uppåt ger tyngdkraften,
F = −mg,
upphov till potentiell energi,
V (x) = mgx.
Nivån x = 0 kan anpassas till den aktuella problemställningen.
10
(3.2)
Exempel 1 Fjäderkraft
När ett fjäder som kan beskrivas med Hookes lag verkar på partikeln med en kraft,
F = −k(x − a),
där k är fjäderkonstanten och x = a är partikelns läge då fjädret inte är spänt, ges den
motsvarande potentiella energin av,
V (x) =
1
k(x
2
− a)2 + C,
där C = 0 är det vanligaste valet.
Kom ihåg att hela detta avsnitt (3.1) gäller enbart rörelse i en dimension under
inverkan av en kraft som beror som mest på partikelns läge.
3.2
Konservativa krafter i två eller tre dimensioner
Definition 3.2 Det arbete som utförs av en kraft då dess angreppspunkt förflyttar
~ är,
sig en liten sträcka δr
~
δW = F~ .δr.
(3.7)
I en dimension blir ekv (3.7),
δW = F δx = − δV,
(om kraften F kan beskrivas av en potentiell energi V ).
När kraftens angreppspunkt, d v s partikeln, flyttar sig längs partikelns bana från
punkt A till punkt B utför kraften arbete,
W =
Z
B
F~ .d~r,
(3.8)
A
på partikeln.
Definition 3.3 En kraft sägs vara konservativ om det arbete som den utför då dess
angreppspunkt förflyttar sig runt en sluten kurva är noll,
I
F~ .d~r = 0.
(3.9)
C
Sats 3.2 Var och en av de fyra egenskaper hos en kraft, F~ , som ges nedan är helt
ekvivalent med de övriga tre egenskaperna:
(i)
(ii)
H
C
F~ .d~r = 0 för alla slutna kurvor C.
RB
A
F~ .d~r är oberoende av den bana som följs från punkten A till punkten B.
(iii) rotF~ = ~0 i varje punkt.
(iv) Det finns en skalär funktion φ sådant att F~ = − grad φ.
11
Definition 3.4 Om kraften F~ är konservativ ges den av en funtion φ genom,
F~ = − grad φ,
(3.10)
och φ kallas den potentiella energi som hör ihop med kraften. Ett byte från φ(~r) till
φ(~r) + C saknar fysikalisk betydelse.
Definition 3.5 grad φ = ∇φ
∂φ
∂φ
∂φ
ı̂ +
̂ +
k̂.
∂x
∂y
∂z
grad φ =
(3.11)
Observera att grad φ är en vektor.
Under förutsättningarna i avs 3.1 leder F~ = F (x)ı̂ till F~ = − dφ
ı̂.
dx
När ekvation (3.10) används tillsammans med ekvation (3.7) ges det arbete som
utförs av en konservativ kraft när dess angreppspunkt förflyttar sig en liten sträcka av,
~
δW = F~ .δr
~
= − (grad φ).δr
= −
∂φ
∂φ
∂φ
δx +
δy +
δz
∂x
∂y
∂z
!
= − δφ.
(3.12)
(Ekvation (3.12) eller ekvationerna (3.8) och (3.10) tillsammans leder vidare till,
Z
B
F~ .d~r = W =
Z
dW = −
A
Z
dφ = − φ(~rB ) − φ(~rB )
= − ∆φ,
för det arbete som utförs av en konservativ kraft när partikeln rör sig längs dess bana
från punkt A till punkt B.)
3.3
Energi i två eller tre dimensioner
Grundekvationen är fortfarande Newtons andra lag,
m~¨r = F~ .
(3.13)
(F~ kan vara summan av ett antal krafter som verkar på partikeln och denna generalitet
inverkar på notationen. Se definition 3.7 nedan.)
Definition 3.6 En partikeln med massa m och hastighet ~v har rörelseenergi,
1
mv 2
2
=
1
m|~v |2
2
(Observera! |~r˙ |2 6= ṙ2 .)
12
=
1
m|~r˙ |2 .
2
Definition 3.7 Om den totala kraft som verkar på partikeln ges av en kraftsumma,
P
F~ = i F~i , i vilken varje enskild kraft F~i är konservativ med potentiell energi φi , ges
partikelns potentiella energi av,
X
V =
φi .
(3.14)
i
(Benämningen lägesenergi förekommer också på svenska.)
Sats 3.3 Under de förutsättningar som anges i definition 3.7 ges partikelns potentiella
energi av det arbete som kraftsumman utför på partikeln,
V = −
Z
F~ .d~r
⇔
δV = − F~ .d~r.
Kraftsumma är därmed själv konservativ,
F~ = − gradV.
(3.15)
Sats 3.4 Om alla de krafter som utför arbete under partikelns rörelse är konservativa
är partikelns totala energi konstant,
1
m|~r˙ |2
2
+ V (~r) = E
= konstant
(3.16)
Sats 3.4 och ekv (3.16) kallas ofta energilagen på svenska.
Summan av partikelns rörelseenergi och potentiella energi är konstant när enbart
konservativa krafter verkar på partikeln. Motståndskrafter som orsakas av olika former
av friktion och dämpning är inte konservativa. De omvandlar ’mekanisk’ energi, E, till
termisk eller inre energi, d v s värme. ’Bra’ eller ’användbar’ energi tenderar att gå
förlorad och krafterna sägs vara dissipativa.
Frånvaron av dissipativa krafter och bevarandet av partikelns energi, E, är nära
kopplat till förekomsten av slutna banor som upprepas i tid, t ex jordens bana runt
solen.
3.4
Centrala krafter
Centrala krafter är konservativa.
Sats 3.2 Den centrala kraften F~ (~r) = F (r)r̂ är konservativ och den associerade
potentiella energin är,
Z r
φ(r) = −
F (r0 )dr0 ,
(3.17)
Bevis Med origo i kraftcentrum fås,
grad φ(r) =
=
∂φ
∂φ
∂φ
ı̂ +
̂ +
k̂
∂x
∂y
∂z
∂φ ∂r
∂φ ∂r
∂φ ∂r
ı̂ +
̂ +
k̂
∂r ∂x
∂r ∂y
∂r ∂z
13
= φ (r)
x
y
z
ı̂ + ̂ + k̂
r
r
r
= φ0 (r)
1 x ı̂ + y ̂ + z k̂
r
0
1
= φ0 (r) ~r = φ0 (r) r̂,
r
så,
F~ = − grad φ
φ0 (r) = − F (r)
↔
↔
φ(r) = −
Z
r
F (r0 )dr0 .
Följdsats 1 Energilagen för en partikel som rör sig under påverkan av enbart en
central kraft är,
Z r
2
1
˙
m|~r| −
F (r0 )dr0 = E.
(3.18)
2
(I ekvation (3.18),
1
m|~r˙ |2
2
=
1
mṙ2
2
+ 21 mr2 θ̇2 ,
i cylinderkoordinater och,
−
Z
r
F (r0 )dr0 = φ(r) = V (r),
där φ är den potentiella energin associerad med kraften F och V (r) är partikelns
potentiella energi. I följdsats 1 till sats 3.5 finns det bara en kraft så V = φ.)
Följdsats 2 När den centrala kraften som verkar på en partikel är tyngdkraften,
F (r) = −GM m/r2 (2.1), på grund av en annan partikel är den potentiella energin,
V (r) = −
GM m
,
r
och energilagen blir,
1
m|~r˙ |2
2
3.5
−
GM m
= E.
r
(3.19)
Rörelse på en yta under inverkan av tyngdkraften
(Avsnitt 3.5 ingår inte i kursen eftersom de matematiska beskrivningarna av ytans
geometri och partikelns bana blir lätt invecklade. Det är dock givande att notera att
den normala komposanten hos kontaktkraften inte utför arbete eftersom dess angreppspunkt, d v s partikeln, rör sig enbart vinkelrätt mot kraften.)
14
4
Roterande referensramar
4.1
Inledning
(Läs den! En halv sida bara.)
4.2
Rotation runt en gemensam z-axel.
Vi utgår ifrån en referensram S med koordinataxlar i riktningarna ~e1 , ~e2 , ~e3 . (Tanken
är att denna referensram är känd för att utgöra ett tröghetsssytem.)
Vi analyserar rörelse i en annan referensram S0 som roterar med vinkelhastighet θ̇
runt ~e3 och som har koordinataxlar i riktningarna ~e10 , ~e20 och ~e30 = ~e3 .
~e10 = cos θ ~e1 + sin θ ~e2



~e20


= − sin θ ~e1 + cos θ ~e2
→


e˙ 0 1 =
 ~
d
dt
~e10 = −θ̇ sin θ ~e1 + θ̇ cos θ ~e2

 ˙0
~e
d
dt
~e20 = −θ̇ cos θ ~e1 − θ̇ sin θ ~e2
2
=
Vi kan skriva,
d 0
~e˙ 0 i =
~e = θ̇~e3 ∧ ~ei0
dt i
för i = 1, 2, 3.
θ̇~e3 = θ̇~e30 är vinkel- eller rotationshastighetsvektorn.
(Observera notationsbytet! Kursboken byter mellan avs 4.2 och avs 4.3. Föreläsningarna och denna sammanfattning byter mellan ‘kapitel 1’ och kapitel 4. Alla
vektorer ~e är nu enhetsvektorer, ~e.~e = 1, d v s de är ‘riktningar’. I ekvationerna ovan
kan ~e10 och ~e20 jämföras med r̂ och θ̂, ~e˙ 0 1 = θ̇~e20 och ~e˙ 0 2 = −θ̇~e10 .)
4.3
Rotationshastighetsvektorn
Sats 4.1 Låt referensramarna S och S0 har ett gemensamt origo och låt S0 roterar
relativt S. (Tanken är att S är känd för att vara ett tröghetsssytem.) I så fall ges
ändringen med tiden av basvektorerna, ~e10 , ~e20 och ~e30 , i S0 av,
~e˙ 0 i = ω
~ ∧ ~ei0 ,
(4.1)
där ω
~ är rotationshastighetsvektorn för S0 relativt S.
(Ekvation (4.1) är en generalisering av avs 4.2 där ω
~ = θ̇~e3 = θ̇~e30 , d v s ω
~ är
konstant. Generellt behöver inte ω
~ vara konstant.)
(Beviset att rotationshastighetsvektorn existerar brukar betraktas som överkurs
inom mekanik vid KTH. Det andra beviset i kursboken utnyttjar dock linjär algebra
som kan vara känd av D-teknologer och relevant för numerisk hantering av matriser.)
Följdsats 1 Rotationshastighetsvektorn är unik.
15
Följdsats 2 Låt referensramen S0 roterar med ω
~ relativt referensramen S. Ändringen
med tiden av en godtycklig vektor ~x kan skrivas,
d~x 0
d~x
=
+ ω
~ ∧ ~x,
dt
dt
(4.2)
där,
X
X dxi
d~x 0
~ei0 =
ẋi~ei0 ,
=
dt
dt
0
när ~x ges i termer av komponenter i S av,
~x =
X
xi~ei0 .
Exempel a Rullning utan glidning
En cylinder med radie a rullar utan glidning i x-riktningen. Se fig 4.4. Cylinderns
vinkelhastigeht ω = θ̇ är kopplad till hastigheten v = dx
genom,
dt
δx = aδθ
→
v =
dx
dθ
= a
= a θ̇ = aω.
dt
dt
(Utifrån kap 5, 6 och 7 skulle man säga att v = vG är hastigehten hos cylinderns
masscentrum.)
16
5
Partikelsystem
(Vi använder partikelsystem som en inkörsport till stela kroppars rörelse.)
5.1
Masscentrums rörelse.
Vi betraktar ett antal partiklar, ett s k partikelsystem. Partikel nr i har massa mi
och läge ~ri . De krafter som verkar på partikel nr i är dels F~ij (j 6= i) från de andra
partiklarna och dels F~i som har sitt ursprung eller orsak utanför själva partikelsystemet.
Krafterna F~i sägs vara yttre krafter medan krafterna F~ij sägs vara inre krafter.
Enligt Newtons andra lag är rörelseekvationen för partikel nr i,
mi~¨ri =
X
F~ij + F~i .
(5.2)
j6=i
NLIII Newtons tredje lag
Motverkan är alltid motsatt och lika stor som verkan.
Enligt denna lag,
F~ji = −F~ij
F~ij + F~ji = ~0.
→
(5.1)
Se fig 5.1.
Definition 5.1 Ett partikelsystems masscentrum defineras av att dess lägesvektor
~ = ~rG ges av,
R
X mi
X
~ =
~ =
R
~ri →
mtot R
mi ~ri ,
(5.3)
i mtot
i
P
~ = ~rG är ett viktat
där mtot =
mi är partikelsystemets sammanlagda massa. (R
medelvärde av partiklarnas lägen. Kursboken använder ‘M ’ för massan i partikelsystemet men vi använder ‘mtot ’ eftersom ‘M ’ kommer att användas för kraftmoment
längre fram.)
Sats 5.1 Ett partikelsystems masscentrum rör sig som om systemets massa var samlad i dess masscentrum och påverkades av enbart de yttre krafterna;
X
¨~
mtot R
=
F~i .
(5.4)
i
Följdsats 5.1 Masscentrum hos ett partikelsystem som inte påverkas av yttre krafter
rör sig med konstant hastighet. Därmed kan det fungera som origo i ett tröghetssystem.
(Se avs 1.7 och kap 4.)
17
5.2
Rörelsemängdsmoment och kraftmoment.
Följande definition 2.2 ges partikelsystemets rörelsemängdsmoment med avseende på
origo av,
X
~O =
L
~ri ∧ mi~vi .
(5.8)
i
Rörelsemängdsmomentet med avseende på en annan punkt A ges av,
~A =
L
X
(~ri − ~rA ) ∧ mi~vi ,
i
~ i är avståndsvektorn från A till partikel nr i.
där ~ri − ~rA = AP
När alla partiklar rör sig i parallella plan med samma normalriktning n̂ ges partikelsystemets rörelsemängdsmoment av,
~ O = ± LO n̂,
L
där,
X
LO =
mi ρi vθ,i ,
i
och ρi är det vinkelrätta avståndet mellan partikel nr i och en axel med
riktning n̂
genom origo. +-tecknet gäller om n̂ har samma riktning som i avs 2.2.
Definition 5.2 En krafts moment med avseende på origo är,
~O =
M
~rF ∧ F~ ,
(5.9)
där ~rF är en (godtycklig) punkt på kraftens verkningslinje (d v s den linje som går
genom
kraftens angreppspunkt med samma riktning som kraften själv).
~ O = ~0 när verkningslinjen går genom origo. När den inte gör det definerar
M
kraftens verkningslinje tillsammans med origo ett plan. Kraftmomentet ligger i normalriktningen till detta plan och har belopp,
MO = ρF F,
där ρF är det vinkelrätta avståndet mellan kraftens verkningslinje
och origo. Jämför
~
en hävarm. Riktningen hos MO bestäms av högerhandsregeln.
Sats 5.2 Ändringen med tiden av ett partikelsystems rörelsemängdsmoment med
avseende på origo ges av summan av de yttre krafternas moment med avseende på
origo;
X
X
d ~
~ Oi ,
LO =
ri ∧ F~i
=
M
(5.10)
dt
i
i
förutsatt att ekv (5.1) gäller.
(För rotation kring en axel med fix riktning fås
18
d
L
dt O
=
P
MOi .)
6
6.1
Stela kroppar
Frihetsgradar.
Definition 6.1 En stel kropp är en (oändligt stor) samling partiklar sådan att partiklarnas lägen relativt varandra förblir oförändrade när kroppen som helhet rör på sig.
Kroppen har därmed konstant storlek, form och massfördelning.
Sats 6.1 En stel kropps rörelse utan tvång har sex frihetsgradar.
Bevis Se fig 6.1. En vald punkt i kroppen, t ex dess masscentrum (G), har tre
frihetsgradar i rummets tre dimensioner. En till vald punkt (A) har två frihetsgradar
då den kan röra sig på en sfärisk yta runt G. Tillsammans definerar G och A en axel
och en tredje vald punkt (B) har en frihetsgrad då den kan röra sig i en cirkel runt
denna axel. 3 + 2 + 1 = 6.
(I denna kurs betraktar vi huvudsakligen plan rörelse hos stela kroppar. Då har
kroppen enbart tre frihetsgradar. En vald punkt fix i kroppen, t ex dess masscentrum,
kan röra sig i planets två dimensioner vilket ger två frihetsgradar. När den valda
punktens läge har bestämts kan kroppen rotera kring en axel genom punkten och med
en fix riktning vinkelrätt mot planet. Det ger ytterligare en frihetsgrad. Sammanlagt
har kroppen 2 + 1 = 3 frihetsgradar. Oftast betraktar vi kroppar som roterar kring en
fix axel med en enda frihetsgrad.)
6.2
Vinkelhastighet.
Sats 6.4 I all rörelse hos en stel kropp finns det en vinkelhastighetsvektor ω sådan
att hastigheterna ~vA och ~vB vid två godtyckliga punkter A och B i kroppen satisfierar,
~vB = ~vA + ω ∧ ~rAB ,
(6.1)
där ~rAB = ~rB − ~rA är B:s läge relativt A och ω är oberoende av valet av A och B.
( Motsvarande uttryck vid rotation kring en fix axel är ~vP = vP θ̂ där vP = ρP ω och
ρP är det vinkelrätta avståndet från punkten P till axeln. θ̂ definerades i kapitel 2. )
6.3
Rörelseekvationerna.
Rörelsemängd
Sats 6.4 Ändringen med tiden av kroppens rörelsemängd ges av summan av de yttre
krafterna som verkar på kroppen;
m
X
d
~vG =
F~i ,
dt
i
(6.4)
där m är kroppens massa och ~vG är masscentrums hastighet. (Kursboken använder
‘M ’ för kroppens massa men vi använder ‘m’ eftersom ‘M ’ används för kraftmoment.
I denna sammanfattning behålls ‘G’ i ~vG .)
19
A
A.1
Appendix
Kägelsnitt i cylinderkoordinater
När origo ligger i en brännpunkt har alla kägelsnitt formen,
c
= 1 + e cos θ,
r
i cylinderkoordinater. Observera att origo inte ligger i kägelsnittets mittpunkt utan i
en av dess brännpunkter. Ekvationen beskriver olika kurvor beroende på värdet hos
eccentricitetet e.
1. 0 ≤ e < 1, en ellips; e = 0, en cirkel;
2. e = 1, en parabel;
3. e > 1, en hyperbel.
20