Repetition från MAM222
Linjärt (o)beroende
En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan beskrivas som en
linjärkombination av de andra.
Detta formuleras enligt:
Definition: Linjärt beroende
Vetorerna v 1, v 2, . . . , v p är linjärt beroende om det existerar värden x1, x2, . . . , xp
som inte alla är noll, så att
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
Om det ovanstående inte gäller, dvs
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
endast är uppfyllt om alla x1, x2, . . . , xp är
noll, säger vi att vektorerna är linjärt oberoende.
Repetition från MAM222
Linjärt (o)beroende, forts
Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret omformuleras enligt
x
1
x
v 1 v 2 . . . v p ..2 = 0
.
|
{z
}
xp
=A
| {z }
=x
dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0.
Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt oberoende,
annars är de linjärt beroende.
Sats 4
En mängd {v 1, v 2, . . . , v p} av minst två
vektorer, där v 1 6= 0, är linjärt beroende om och endast om något v j kan uttryckas som en linjärkombination av de
föregående vektorerna v 1, v 2, . . . , v j−1.
Definition: Bas
Om H är ett underrum till V , så är
vektormängden B = {b1, b2, . . . , bp} i V en bas
för H om
(i) B är en linjärt oberoende mängd, och
(ii) underrummet som spänns upp av B är
hela H, dvs
H = Span{b1, b2, . . . , bp}.
Sats 5
Låt S = {v 1, v 2, . . . , v p} där v i ∈ V , och låt
H = Span{v 1, v 2, . . . , v p}.
a. Om v k kan uttryckas som en
linjärkombination av de övriga elementen i S, så kan v k tas bort ur S,
utan att Span(S) påverkas.
b. Om H =
6 {0}, så finns en delmängd av
S som är bas för H.
Sats 6
Pivåkolonnerna i matrisen A bildar en bas
för Col(A).
