Vektorer.

3 / 18
Vektorer.
Vektorer är ett mycket viktigt och användbart
verktyg för att kunna beskriva sammanhang som
innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet.
Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek
också har riktning.
B
v
A
Definition . En vektor v är mängden av riktade sträckor, som har egenskapen att två riktade
sträckor AB och CD båda tillhör v om och endast om de kan överföras till varandra genom parallellförflyttning. Varje riktad sträcka i mängden utgör
en representant för vektorn.
4 / 18
Terminologi .
Riktad sträcka AB.
Fotpunkt, spets I uttrycket AB sägs A vara dess
fotpunkt och B dess spets.
Nollvektor Om A B i vektordefinitionen så får
vi nollvektorn 0.
Längd Med längden av en vektor menas längden
av en av dess representanter. Längden betecknas
|v|.
5 / 18
Räkneoperationer för vektorer.
Två grundläggande operationer:
u
u+v
v
u
v
u+v
u
tu
Addition,
Multiplikation med skalär.
6 / 18
v
-v
u-v
u
Anmärkning . Vektorer kan subtraheras:
uv u
p1q v
.
Definition . En vektor e med egenskapen |e| 1
kallas en enhetsvektor. Att normera en vektor v
görs genom att dividera med vektorns längd:
e v̂ v
|v|
7 / 18
Exempel . Låt O, A, B vara tre punkter i rummet.
Antag vidare att OA u och OB v. Om M är
1
mittpunkten på AB så gäller att OM pu vq.
2
Visa det.
A
M
u
O
v
B
8 / 18
Basbegreppet.
Ett koordinatsystem i planet består av en punkt
O och en bas tex, ey u. Vi skall titta litet närmare på
vad en bas är för något.
y
(x,y)
vy
v
ey
O
ex
vx
x
Plana fallet Låt ex, ey vara två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor v i planet
skrivas
v vx
vy
x ex
y ey , x, y
P R.
3-dim. fallet Låt ex, ey , ez vara tre vektorer som
inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor v i
rummet skrivas
v x ex
y ey
z ez , x, y, z
P R.
9 / 18
Koordinater.
Definition .
Planet Två icke-parallella vektorer ex, ey är en bas
för vektorerna
i planet. I uttrycket v x ex y ey
x
är
koordinaterna för vektorn v m. a. p.
y
basen tex, ey u.
Rummet Tre vektorer ex, ey , ez , som inte ligger
i samma plan, är en bas för vektorerna i
rummet.
I uttrycket v x ex y ey z ez är
x
y koordinaterna för vektorn v m. a. p. basen
z
tex, ey , ez u.
Uttryck av typen x ex
y ey kallas en
linjärkombination av ex resp. ey .
Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes
ortogonala. Är dessutom basvektorernas längder lika
med 1, har vi en ortonormerad bas eller en ON-bas.
10 / 18
Anmärkning . När en ON-bas tex, ey u är definierad, förenklas beteckningarna och kalkylerna
avsevärt. Man skriver normalt
v x ex y ey på
x
den kortare formen v .
y
Antag att u
u1
u2
och v
ON-bas.) Vi får:
u
v
tu u1
u2
tu1
.
tu2
v1
.
v2
v1
v2
(m.a.p. en
11 / 18
y
P:(p,q)
u
A:(a,b)
Q:(p-a,q-b)
r
O
x
Vi betraktar ett rätvinkligt koordinatsystem i planet. Antag att vektorn u AP har sin fotpunkt i
punkten A : pa, bq och sin spets i punkten P : pp, q q.
Då gäller att vektorn AP har koordinaterna
AP
u
pa
qb
.
Längden av vektorn AP blir med Pythagoras sats
|AP | a
pp aq2 pq bq2
.
Anmärkning . Vi noterar att vektorn AP är
ekvivalent med ortsvektorn r OQ, som har
fotpunkt i origo och spets i punkten Q.
Exempel . Låt u 1. Beräkna 2u
1
2
och v 12 / 18
4
.
3
3v.
2. Beräkna |v|.
3. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning
som v.
4. Betrakta punkterna P : p1, 2q och Q : p4, 3q.
Bestäm avståndet mellan P och Q.
13 / 18
Exempel . Betrakta triangeln ABC. Antag att
1
2 AP P C samt att CQ CB. Bestäm koor4
dinaterna till vektorn P Q med avseende på basen
tAB, AC u.
C
Q
P
A
B
14 / 18
Exempel . Uttryck en godtycklig enhetsvektor u
i två olika ON-baser. ON-basen tv1, v2u är vriden
vinkeln α i förhållande till ON-basen te1, e2u.
Enhetsvektorn u bildar vinkeln β med basvektorn
v1.
e2
v2
u
6
MBB
B
B
B
B
B
B
v
1
1
B
B B
-
e1
M.a.p. ON-basen tv1, v2u gäller
u cos β v1
sin β v2
.
(1)
M.a.p. ON-basen te1, e2u gäller
u cospα
β q e1
sinpα
β q e2
.
(2)
15 / 18
Vi skriver ett samband mellan de bägge baserna:
cos α e1
v2 sin α e1
v1
sin α e2
cos α e2
,
.
(3)
Vi sätter in (3) i (1) och får
u
cos β pcos α e1 sin α e2q
sin β p sin α e1 cos α e2q pcos α cos β sin α sin β q e1
psin α cos β cos α sin β q e2
.
Vi har med elementär vektorräkning fått de
(välkända?) additionsformlerna, genom att vi identifierar slututtrycket med (2).
16 / 18
,,
,
,
,
,
,
,
,
PP
,
PP
PP,,
C
D
A
B
Exempel .
Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i
planet. Om A väljs som origo och vektorerna AB
och AD väljs till basvektorer får C koordinaterna
p2, 3q, dvs. AC 2 AB 3 AD. Vilka koordinater
får A om C väljs till origo och vektorerna CB och
CD väljs till basvektorer?
17 / 18
Lösningsförslag.
,,
,
,
,
,
,
,
,
P
,
PP
,
PP
PP
,
P
PP
C
D
A
B
Ur förutsättningarna får vi:
2AB
BC AB
AD AC
AC
3AD
3AD
CD
18 / 18
Detta ger att
AC
2pBC 3pAC
CDqq
3pAC
CDq.
Förenkling ger
AC
2BC 6AC 6CD
3AC
3CD.
Vi löser ut AC:
4AC
2BC 3CD
dvs.
AC
1
3
BC CD
2
4
Slutligen får vi:
1
CA CB
2
3
CD,
4
dvs. koordinaterna för punkten A är
seende på basen pCB, CDq.
p 12 , 34 q med av-
1 / 21
Projektion, koordinater.
u
s
uv
v
Definition . Låt u vara en godtycklig vektor och
L en rät linje med riktningsvektor v. Den ortogonala projektionen uv på L är den vektor med
egenskapen
uv k L,
u uv K L.
2 / 21
Det är ofta praktiskt att uttrycka en vektor som
en summa av två andra vektorer, parallella med och
ortogonala mot en föreskriven riktning.
36
v vN
-
vL
Definition . Låt L och N vara två vinkelräta linjer i planet med riktningsvektorer vL och vN . En
godtycklig vektor v kan då uttryckas som summan
v vL
vN
(1)
Vektorerna vL och vN kallas v:s komposanter.
Uttrycket (1) kallas en komposantuppdelning av
v.
3 / 21
Exempel . Ett föremål dras längs en vågrät väg
L med en kraft F som bildar en vinkel φ med
förflyttningen.
F
F2
ø
F1
s
Enligt definitionen av arbete utför kraften F arbetet
W
|F| |s| cos φ
.
Vi komposantuppdelar F och finner att |F| cos φ
|F1|. Definitionen av arbete visar att
W
|F1| |s|
.
4 / 21
Skalärprodukt.
Föregående exempel kan tjäna som inledning till
begreppet skalärprodukt.
u
ø
v
Definition . Skalärprodukten u v, där u, v
definieras som
u v |u| |v| cos φ ,
och φ är vinkeln mellan u och v.
0,
5 / 21
Speciellt gäller:
u u |u|2,
Om u v 0 så är u och v ortogonala (vinkelräta) (eller någon faktor är lika med nollvektorn),
Om u v ¡ 0 så är vinkeln spetsig. Om u v 0
så är vinkeln trubbig.
6 / 21
Räkneregler.
(Kommutativ lag) u v v u,
(Distributiv lag) u pv
wq u v
u w,
(För λ P R) pλ uq v λpu vq.
Exempel . Vektorerna u och v har längden 3
π
respektive 4 och bildar vinkeln . Bestäm längden
4
av
1. deras summa,
2. deras skillnad.
7 / 21
ON-baser och skalärprodukt.
Sats . Om
u
x1
y1
,v x2
y2
,
i ON-basen tex, ey u, så är
u v x1 x2
y1 y2 .
Anmärkning . Motsvarande gäller för vektorer i
rummet.
1
3
Exempel . u 2 och v 1 (ON1
1
bas). Bestäm vinkeln mellan vektorerna.
8 / 21
Vinkelrät projektion.
Vektorn u är godtycklig. Linjen L har riktningsvektor v. Komposanten uL kallas
u:s (vinkelräta) projektion på L. Det gäller att
|uL| |u| cos φ |u| |v| cos φ
|v|
uv
.
|v|
u
>
6
φ
-
-
v
uL
L
9 / 21
Vi dividerar med |v| och får
|uL|
|v|
uv
|v|2
uv
vv
.
Vi frigör |uL| och får den s.k. projektionsformeln:
uL
uv vv v.
(2)
Anmärkning . I (2) kan vi sätta enhetsvektorn
v
e
och får alternativt
|v|
uL
pu eq e.
(3)
10 / 21
Exempel . Givet vektorn
2
u 8 1
samt linjen L med riktningsvektor
2
v 1 2
Bestäm ortogonala projektionen uL samt dess längd.
11 / 21
Exempel . Låt u
1
1 och v
1
1
0 .
2
Komposantuppdela:
u uk
uK
,
där uk är parallell med v och uK är ortogonal mot
v.
12 / 21
Exempel . Vektorerna u och v har längderna 1
resp. 2 längdenheter. Vinkeln mellan u och v är
π {3.
1. Bestäm längden av vektorn 3 u
2 v.
2. Bestäm a så att vektorerna
3u
2 v och 2 u
a v blir ortogonala.
3. En parallellogram vars sidor är lika långa kallas en
romb. Visa (med skalärprodukt) att diagonalerna
i en romb är vinkelräta.
13 / 21
Vektorprodukt.
Definition . Vektorprodukten av u och v, u v,
är en vektor som uppfyller:
1. |u v| |u| |v| sin θ, där θ är vinkeln mellan u
och v,
2. pu, v, u vq är en högerorienterad trippel,
3. u v är ortogonal mot såväl u som v,
4. u v 0 ô u och v är parallella.
14 / 21
u v
P
v
u
15 / 21
Anmärkning . Två viktiga
skalär- och vektorprodukt:
skillnader
mellan
skalärprodukten är ett tal, vektorprodukten en
vektor,
vektorprodukten gäller endast i det tredimensionella rummet.
De viktigaste räknereglerna för vektorprodukten redovisas i följande
Sats .
1. v u u v,
2. u pv
wq u v
3. pλuq v λpu vq.
u w,
16 / 21
Komponenträkning i en högerorienterad ON-bas.
Sats . Om u och v har koordinatframställningen
x1
u y1 z1
,
x2
v y2 z2
m. a. p. en högerorienterad ON-bas tex, ey , ez u, så
gäller att
y 1 z2 z 1 y 2
u v z1 x2 x1 z2 .
x1 y2 y1 x2
17 / 21
Bevis-skiss . Från definitionen:
ex ex
ey ey ez ez 0,
ex ey ez ,
ey ez ex ,
ez ex ey .
Detta ger (för z-komponenten):
u v px1ex
y 1 ey
z1ezq px2ex
x1y2pex eyq y1x2pey exq px1y2 y1x2qez
y 2 ey
Vi resonerar på analogt sätt för de återstående
komponenterna.
z2 e z q 18 / 21
Minnesregel (Sarrus regel).
Z
>
Z
>
Z
>
Z
Z
Z
e
e
e
e
e
x
y
z
x
y
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
x1 ZyZ1 ZzZ1 x
1 y1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
x
y2 ZzZ2 x
yZ2
2 Z
2
Z
~
Z
~
Z
~
Z
+ + +
2
Exempel . 3 1
5
3 .
1
1
1 2
. .on
loo.mo
Sarrus regel
19 / 21
Exempel . Bestäm arean av triangeln med hörn
i punkterna A p1, 1, 0q, B p3, 0, 2q samt C p0, 1, 1q.
0
1 1
1 1 0
A
C
3 0 2
B
Den sökta arean är hälften av arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna AB och AC.
Men höjden mot |AB| är lika med |AC| sin θ, där θ
är vinkeln mellan AB och AC. Vi åberopar def. av
1
vektorprodukt och den sökta arean blir: |AB AC|.
2
20 / 21
Trippelprodukt.
v w
u
h
w
v
Definition . Uttrycket u pv wq kallas (den
skalära) trippelprodukten av vektorerna u, v
och w.
Geometrisk tolkning: Volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och wq är
beloppet av trippelprodukten av vektorerna u, v och
w.
21 / 21
Anmärkning . Trippelprodukten
pu v q w
används ofta för att avgöra om tre vektorer ligger i
ett plan.
u pv wq
$
&
%
¡0 ñ
0 ñ
0 ñ
u, v, w högerorient.
u, v, w vänsterorient.
u, v, w i samma plan
Exempel . Bestäm a så att punkten P :
pa, 2, 6q ligger i samma plan som punkterna P1 :
p7, 3, 8q,P2 : p5, 3, 10q och P3 : p4, 3, 1q.
1 / 13
Räta linjen i planet och i rummet.
z
r
r0
v
P0
P
r
r0
x
y
En rät linje i R2 och R3 bestäms (entydigt) av en
punkt P0 (med ortsvektor r0) och en riktningsvektor
v. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på linjen
om och endast om vektorn r r0 är parallell med v.
2 / 13
Detta uttrycks med
Räta linjens ekvation på vektorform
r r0
tv
(1)
eller
r r0
där t P R.
tv
,
(2)
3 / 13
Vi betraktar situtationen i rummet.
Om vektorerna r
α
v β γ
x
y , r0
z
x0
y0 och
z0
, kan (2) alternativt skrivas:
Räta linjens ekvation på parameterform
$
& x
y
% z
där t P R.
x0
y0
z0
tα
tβ
tγ
4 / 13
Räta linjen i planet.
Antag att en rät linje passerar genom punkterna
P : px1, y1q och Q : px2, y2q.
y
D
∆y y2 y1
C x 2 y1
∆x x 2 x 1
P x 1 y1
Q x 2 y2
x
Linjens riktningskoefficient
k
xy2 yx1
2
1
5 / 13
Om R : px, y q är en godtycklig punkt på linjen,
så gäller
y y1
x x1
k,
(3)
så att
y
kpx x1q
y1 .
(4)
Uttrycket (4) kan alternativt uttryckas som en
generell linjär ekvation: Ax By C 0, där
A och B inte är noll samtidigt.
Exempel . Visa att vektorn
A
B
6 / 13
är normalvek-
0.
Punkterna P px1, y1q resp. Qpx2, y2q antas ligga på
tor till linjen Ax
By
C
linjen. Därför gäller:
"
Ax1
Ax2
By1
By2
C
C
0
0
Vi subtraherar och får
Apx2 x1q
B py 2 y 1 q 0
.
7 / 13
Detta
kan
skalärprodukten
A
B
alternativt
x2 x1
y2 y1
0
uttryckas
som
.
A
och P Q B
x2 x1
A
är ortogonala, dvs.
är en
y2 y1
B
normalvektor till linjen, eftersom P Q är en riktningsvektor till linjen.
Detta betyder att vektorerna
8 / 13
Exempel . Bestäm en riktningsvektor till linjen
med ekvationen
1. y
kx
2. Ax
m,
By
C
0.
1. Välj den oberoende variabeln x som parameter,
dvs. sätt x t. Detta medför att y kt m, och
vi skriver linjens ekvation på parameterform blir
"
x
y
t
m
kt
9 / 13
På vektorform blir linjens ekvation
x
y
0
m
t
1
k
Vi konstaterar: Vektorn v
1
k
är en rikt-
ningsvektor till linjen.
2. Välj t.ex. vektorn u
tor.
AB
till riktningsvek-
10 / 13
6
v
2
PP
PP
PP
PP
q
PP P
PPP
*
PP
PP
PP
PP
PP
P
1
α
v
-
Exempel . Bestäm vinkeln 0
linjerna
y
k1x
m1
k2x
m2
och
y
¤ α ¤ π{2
mellan
11 / 13
Genom att parameterframst
älla linjerna, erhålls
1
1
riktningsvektorerna v1 resp. v2 .
k1
k2
Med definitionen på skalärprodukt får vi att
cos α a
|1
1
k1 k2|
k12
a
1
k22
.
Anmärkning . Om k1 k2=-1 så är linjerna ortogonala.
12 / 13
Exempel .
1. Punkterna P1 och P2 har koordinaterna p1, 0, 1q
resp. p4, 3, 3q i ett ON-system.
Undersök om någon av punkterna p2, 3, 1q,
p5{2, 3{2, 2q och p11{2, 9{2, 4q ligger på
sträckan P1P2.
2. Visa att linjerna
$
& x
L1 :
y
% z
5 t
2 t
3 t
och
$
& x
L2 :
y
% z
1 2t
3 3t
2 t
skär varandra och bestäm skärningspunkten.
13 / 13
Exempel . Bestäm ekvationen för linjen genom
punkterna P0 p1, 3q och P p2, 0q på parameterform.
En partikel som rör sig rätlinjigt med konstant
fart, befinner sig vid tiden t 0 i punkten P0 p1, 3, 7q och vid t 1 i punkten Q p3, 5, 3q.
– Ekvationen för den linje som utgör partikelbanan?
– Vid vilken tidpunkt passeras xy-planet?
– Partikelns läge då?
1 / 24
Planets ekvation.
z
n
P0
r0
r0
r
P
r
x
y
Ett plan bestäms (entydigt) av en punkt P0 (med
ortsvektor r0) och en normalvektor n 0. En punkt
P (med ortsvektor r) ligger på planet om och endast
om vektorn r r0 K n.
Detta uttrycks med
2 / 24
Planets ekvation på vektorform .
n0
(1)
pr r0q n 0,
(2)
P0 P
eller
där P0P ligger i planet.
x
A
Om n B , r y
z
C
kan (2) alternativt skrivas:
och r0
x0
y0
z0
,
Planets ekvation på parameterfri form .
Apx x0q
B py y 0 q
C pz z 0 q 0
Detta kan skrivas mer förenklat:
Ax
By
där D
Cz
D
0
Ax0 By0 Cz0.
(3)
3 / 24
Anmärkning . Observera att (3) är ekvationen för ett plan. I R3 skrivs räta linjer
enbart på parameterform.
Exempel . Genom punkterna P1 : p1, 0, 1q, P2 :
p1, 1, 0q och P3 : p0, 1, 1q (ON-system) går ett plan.
Bestäm dess ekvation.
4 / 24
Exempel . Bestäm skärningslinjen mellan planen
x y z 0 och y 2z 6.
De två planen har normalvektorerna n1
1
1
1
0
resp. n2 1 . Eftersom linjen ligger i bägge
2
planen är dess riktningsvektor v ortogonal mot såväl
n1 som n2.
Därför är v n1 n2
... 3
2
1
.
5 / 24
Vi behöver veta en punkt på linjen för att kunna teckna linjens ekvation. Man väljer en koordinat
godtyckligt, sätt t.ex. z 0 i de bägge ekvationerna. Detta ger y 6 och x 6. Slutligen får vi
skärningslinjens parametriserade ekvation:
$
&
L:
%
x
y
z
6 3t
6 2t
t
6 / 24
Exempel .
1. Bestäm ekvationen för det
plan
som innehåller
2
punkten p2, 3, 0q och har 1 som normalvek3
tor.
2. Låt Π vara planet x 2y az 3 0, där a är
en konstant. Ange a så att linjen
$
&
L:
%
ligger i Π.
x
y
z
t
1t
2 2t
7 / 24
Avståndsberäkningar: Punkt-plan.
z
P0
r
r0
s
n
P1
P
r
x
y
Exempel . Bestäm avståndet s mellan punkten
P0 : px0, y0, z0q och planet Π : Ax By Cz D 0.
8 / 24
1. Planets normalvektor n A
B
C
.
2. Vi normerar n :
ne
?
1
B2
A2
C2
A
B
C
.
3. Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P :
p0, 0, D{C q. Vi tecknar vektorn
P P0
z0
x0
y0
D{C
.
9 / 24
4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen
s |P P0 ne|,
vilket ger:
s
?
1
B2
A2
?
|Ax0
C2
A
B
C
By0 Cz0 D|
A2 B 2 C 2
.
z0
x0
y0
D{C
10 / 24
Exempel . Bestäm avståndet s mellan punkten
P0 : p1, 3, 2q och planet Π : 2x 3y z 1 0.
1. Planets normalvektor n 2
3
1
.
2. Vi normerar n :
ne
?1
14
2
3
1
.
3. Välj punkten P godtyckligt i planet,
t.ex.
P :
1
p0, 0, 1q. Vi tecknar vektorn P P0 3 3
11 / 24
4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen
s |P P0 ne|,
vilket ger:
s
?1
14
1
3
3
2
3
1
?
14.
12 / 24
Avståndsberäkningar: Punkt-linje.
L
R@
s
@
@
@
v
@s
P0
s
P1
Exempel . Bestäm avståndet s mellan punkten P0
och linjen
L : r r1 t v.
1. Normera v. ve
v
.
|v|
2. Bestäm annan punkt godtyckligt på L. Exempelvis
ger t 0 punkten P1 med ortsvektor r1.
3. Teckna P1P0
r0 r1.
4. P1R är P1P0:s komposant parallell med L.
13 / 24
Projektionssatsen:
|P1R| |P1P0 ve|.
5. Sökta avståndet
s
b
|P1P0|2 |P1R|2.
Anmärkning . Alternativt kan avståndet beräknas
som
s |P1P0 ve| |P1P0 v
|
|v|
14 / 24
Exempel . Bestäm avståndet s mellan punkten
P0 : p2,0, 3
q ochlinjen x
1
0
L : y 1 t 3 .
z
3
4
1. Bestäm annan punkt P1 godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P1 : p1, 1, 3q.
2. Teckna P1P0
1
1
0
.
3. P1R är P1P0:s komposant parallell med L.
P1R pP1P0 veq ve.
4. Normera linjens riktningsvektor.
ve
?1
25
0
3
4
.
15 / 24
5. Projektionssatsen:
|P1R| P1P0 ve
3
.
5
6. Sökta avståndet:
Alt. 1
s
b
|P1P0
|2
|P1
R|2
2 9{25 a
Alt. 2
s |P1P0 ve| 1{5
1{5
1
1
0
4
4
3
0
3
4
?
41
.
5
?
41
.
5
16 / 24
Avståndsberäkningar: Linje-linje.
L2
v2
P2
n
s
P1
L1
v1
Exempel . Bestäm avståndet s mellan linjerna L1,
som går genom punkten P1 med riktningsvektor
v1 respektive L2, som går genom punkten P2 med
riktningsvektor v2.
17 / 24
1. Linjernas ekvationer:
L1 : r r1
t v1
resp.
L2 : r r2
t v2.
2. Bestäm godtyckliga punkter på L1 resp. L2. Exempelvis ger t 0 punkterna P1 resp. P2.
3. Teckna P1P2
r2 r1.
18 / 24
4. s är längden av P1P2:s komposant längs den
gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna,
s |P1P2 ve| .
5. Normalens enhetsriktningsvektor
ve
|vv1 vv2|
1
.
2
6. Sökta avståndet:
s |ve P1P2| .
19 / 24
Exempel . Bestäm avståndet s mellan linjerna L1,
som går genom punkterna P : p1, 2, 1q och Q :
p0, 2, 1q respektive L2, som går genom punkterna
R : p1, 2, 0q och S : p1, 0, 2q.
1. Linjernas ekvationer:
L1 : x
y
z
1
2
1
t
1
0
2
resp.
L2 : x
y
z
1
2
0
t
0
2
2
.
20 / 24
2. Bestäm godtyckliga punkter P1 på L1 resp. P2
på L2. Exempelvis P1 P p1, 2, 1q resp.
P2 R p1, 2, 0q.
3. Teckna P1P2
2
4
1
.
4. s är längden av P1P2:s komposant längs den
gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna,
s |P1P2 ve| .
21 / 24
5. Normalens enhetsriktningsvektor
ve
|vv1 vv2| 1
1
?
... 24
2
4
2
2
.
6. Sökta avståndet:
s
1
?
24
2
4
1
4
2
2
7
?
6
.
22 / 24
Exempel . Bestäm avståndet mellan de två linjerna nedan.
$
&
L1 :
%
$
&
L2 :
%
x
y
z
2 t
t
1 t
x
y
z
2 4t
2 6t
5 t
23 / 24
Exempel .
Bestäm en ekvation för det plan som innehåller
linjen
$
&
L:
%
x
y
z
1 t
2t
1 3t
och punkten p2, 3, 3q.
Bestäm avståndet från punkten p0, 1, 1q till planet.
24 / 24
.
Visa att linjerna
$
&
L1 :
%
x
y
z
x
y
z
3t
5 3t
2 2t
2
3
1
t
2t
3t
resp.
$
&
L2 :
%
skär varandra. Bestäm skärningspunkten samt ekvationen för det plan som innehåller båda linjerna.

Vektorer.

Related documents

Products

Support

Vektorer.

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib