Föreläsning 13/11

Föreläsning 13/11
Motsvarar avsnitten 5.1–5.1.2, 5.2–5.3, 7.1.1 i Griffiths
Magnetostatik
Magnetisk flödestäthet B
Runt permanentmagneter och strömmar finns magnetfält. Om en laddning q rör sig
med hastigheten v i ett sådant fält utsätts den för en kraft
F = qv × B
Kraften kallas Lorentzkraften. Sambandet definierar den magnetiska flödestätheten
B. Enheten för B är Tesla T=Vs/m2 = Wb/m2 , där Wb=Vs=Weber är en enhet
som används för magnetiskt flöde.
Exempel: En magnetisk flödestäthet med styrkan 1 Tesla är mycket stark. De
allra starkaste permanentmagneterna (t.ex. Neodymmagneter) ger en Tesla. På vår
breddgrad är det jordmagnetiska fältet ungefär 57 µT. Vid magnetresonanstomografi
används magnetfält med styrkan 3-7 T.
Biot-Savarts lag
Följande integralsamband gäller mellan en ström I i en ledning och magnetiska
flödestätheten B(r) runt ledningen:
Z
Id`0 × (r − r 0 )
µ0
B(r) =
4π C
|r − r 0 |3
Vi kan se detta som ett postulat med ursprung i de experiment man gjorde 1820
på magnetfält från strömmar. Biot-Savarts lag kan generaliseras till ett samband
mellan B och strömtätheten J i en volym V:
Z
J (r 0 ) × (r − r 0 ) 0
µ0
dv
B(r) =
4π V
|r − r 0 |
För en ytströmtäthet som befinner sig på en yta S gäller på samma sätt:
Z
J s (r 0 ) × (r − r 0 ) 0
µ0
B(r) =
dS
4π S
|r − r 0 |3
Rotationen och divergensen av B(r)
Från Biot-Savarts lag följer att
∇ · B(r) = 0
Den magnetiska flödestätheten är alltså divergensfri vilket är ekvivalent med att det
inte finns några magnetiska laddningar. Från Biot-Savarts lag följer också att
1
∇ × B(r) = µ0 J (r)
(0.1)
Det betyder att B inte är ett konservativt fält.
Vektorpotentialen A
Vi inför vektorpotentialen A genom
B(r) = ∇ × A(r)
Insättning i ekvationen (0.1) ger
∇ × (∇ × A) = µ0 J (r)
genom att använda identiteten
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
och lägga på villkoret ∇ · A = 0 får vi ekvationen
∇2 A = −µ0 J
I vissa fall är denna ekvation mycket användbar för att bestämma det magnetiska
fältet från en strömtäthet. I denna kursen kommer vi dock inte att använda ekvationen.
Ohms lag
Detta avsnitt skall egentligen behandlas på nästa föreläsning. Eftersom avsnittet
behövs i de avancerade uppgifterna för F går vi igenom det redan här.
För ett motstånd i en elektrisk krets ger Ohms lag att V = RI. För en
strömtäthet J ger Ohms lag att
J = σE
där σ är konduktiviteten (enhet 1/(Ωm)=S/m).
För metaller är σ av storleksordningen 107 S/m. För saltvatten är σ ≈ 4 S/m.
För goda isolatorer är σ av storleksordningen 10−15 S/m.
Bestämning av resistansen för rak ledare
Antag en rak solid ledare med längd L, tvärsnittsyta A och konduktivitet σ. Driv
en ström I genom ledaren och bestäm spänningen V0 över ledaren.
Eftersom strömmen är jämnt fördelad över tvärsnittsytan fås strömtätheten
I
J = ẑ
A
Det elektriska fältet ges av E = J /σ. Därmed fås spänningen
Z L
IL
V0 =
E · ẑdz =
σA
0
och resistansen
V0
L
R=
=
I
σA
2
Bestämning av resistansen mellan två sfäriska metallskal
Antag två tunna koncentriska metallskal (dvs gemensamt centrum) med radier a och
2a. Området mellan metallskalen är fyllda med ett ledande material med konduktiviteten σ, som antas vara betydligt mindre än metallens konduktivitet. Bestäm
resistansen R mellan skalen.
Vi kan lösa problemet på ett antal olika sätt.
Metod 1: Antag en spänning V0 på inre skalet och potentialen 0 på yttre skalet.
Mellan skalen gäller Laplace ekvation ∇2 V (r) = 0. Eftersom vi inte har någor θeller φ-beroende gäller i sfäriska koordinater
1 ∂ 2 ∂V (r)
r
= 0, då a < r < 2a
r2 ∂r
∂r
Genom att integrera ekvationen två gånger fås lösningen
V (r) = −
α
+β
r
Randvillkoren ger α = −2aV0 och β = −V0 . Elektriska fältet ges av E = −∇V (r) =
0
− ∂V∂r(r) r̂ = 2aV
r̂. Låt S vara en sfär med radien r, a < r < 2a. Strömmen mellan
r2
skalen ges av
I
I
2aσV0
J · r̂dS = σ E · r̂dS =
I=
4πr2 = 8πσaV0
2
r
S
S
Resistansen blir
V0
1
=
I
8πσa
Metod 2: Antag en ström I mellan skalen. Strömtätheten mellan sfärerna ges
av J = I/(4πr2 )r̂. Det elektriska fältet ges av E = J /σ. Spänningen mellan skalen
fås av
Z 2a
V0 =
E · r̂dr = I/(8πσa)
R=
a
Resistansen blir R = V0 /I = 1/(8πσa).
Metod 3: Dela in området mellan metallskalen i ett stort antal sfäriska skal med
tjocklek ∆r. Enligt formeln för resistansen för en rak ledare ges resistansen för ett
skal av
1
1
∆R =
∆r =
∆r
σA
σ4πr2
Seriekoppling av alla resistanserna ger då ∆r → 0
Z 2a
1
1
R=
dr =
2
σ4πr
8πσa
a
3