7. ÖVNINGAR.
75
Satsens formel är precis den formel som vi använde för att lösa andragradsekvationer
u2 − 4v
, som
med reella koefficienter u och v, utom att då skrev vi lösningarna till w2 =
4
r
u2 − 4v
w=±
.
4
För allmänna komplexa koefficienter u och v bör vi inte kalla w i satsen ovan för
u2 − 4v
kvadratroten ur
, fast det är frestande. Det går nämligen inte att definiera en
4
entydig kvadratrot ur komplexa tal, faktiskt går det inte ens att ge en definition av en
entydig kvadratrot ur negativa tal och samtidigt förvänta sig att alla de kvadratrötter vi
definierat snällt ska uppfylla samma räkneregler som vi är vana vid. Det följer av följande
argument.√
Antag att vi bestämmer√oss för att kalla en av de två rötterna ±i vars kvadrat
är −1 för −1. T ex kan vi testa −1 = i. Då är
−1 =
√
p
√
√
−1 −1 = (−1) · (−1) = 1 = 1,
√
vilket är omöjligt. (Det blir samma fel med
−1
√ = −i.) Alltså uppfyller våra kvadratötter
√ √
inte längre den enkla räkneregeln a b = ab, och man kan undra vad det då är för
vits med att
√ använda kvadratrotssymbolen. (Ibland använder man ändå i litteraturen
symbolen −1 istället för i, men det kan alltså leda till problem, och därför har vi
undvikit detta här.) När vi definierar kvadratroten ur ett reellt positivt tal a 6= 0, så är
situationen annorlunda. Det finns en positiv och en negativ
lösning till x2 = a, och vi väljer
√
√
en av dem, nämligen den positiva och kallar
√ den a. Den andra lösningen är då − a,
och bägge lösningarna kan beskrivas som ± a. Vi använder alltså i denna definition att
vi har en ordning√på de reella talen: av två reella tal är alltid ett störst, och så definierar
vi kvadratroten a som det största av de två lösningarna till x2 = a. För komplexa tal
finns det ingen liknande naturlig ordning, vilket är ett skäl till våra problem nyss med
kvadratrötter.
Vi ska i nästa kapitel se hur man kan bevisa att det alltid finns lösningar till en
komplex andragradsekvation, med hjälp av polära koordinater.
7. Övningar.
(1) Bestäm Re z och Im z om z är följande tal:
d) 5i, e) −i.
a) 2 + 3i,
b) 2 − 3i,
c) 2,
(2) Bestäm följande tal på formen a+bi: a) (2+3i)+(1+2i), b) (2+3i)+(1−2i),
c) (2+3i)−(1−2i), d) (2+3i)·(1+2i), e) (2+3i)2 , f ) (5+i)3 , g) (1−i)4 .
b) 1 − 3i, c) 3i,
(3) Beräkna a) 2 + 3i,
f ) | − 3 − 4i|, g) |4i|, h) | − 7i|, i) |i|
d) (2 + 3i)(2 + 3i),
e) |3 + 4i|,
76
5. KOMPLEXA TAL.
(4) Bestäm följande tal på formen a + bi:
d)
3 + 4i
,
1 − 5i
e)
1
,
i
a)
1
,
1+i
b)
1
,
2 − 5i
c)
1+i
,
1−i
f ) (1 + i)−2 .
a) (1 + 3i)(4 − 5i)(1 + i),
√
(1 + 2i)(1 + 3i)
(6) Beräkna absolutbeloppet av
.
(1 + i)3
(7) Lös ekvationen z + (1 + i)z̄ = 1 − i.
(5) Beräkna absolutbeloppet av
b)
(1 + 3i)(4 − 5i)
.
1 + 2i
(8) Lös ekvationerna
a) 2z + iz̄ = 3 + 3i,
b) z̄(2z) = 1 + i.
(9) Tolka geometriskt i komplexa talplanet ekvationen Re z + Im z = 2.
(10) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller
c) Im z ≥ 0, d) z̄ + z = 0, e) z̄ = z.
a) Re z = 2,
b) Im z = 2,
(11) Lös ekvationerna a) z 2 + (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0,
c) z 2 + (2 − 2i)z + 4 − 2i = 0.
b) z 2 + (1 + 4i)z − 3 + 3i = 0,
4. ÖVNINGAR
89
Exempel 63. Lös ekvationen z 2 + 2iz − 1 − 2i = 0.
Lösning: Kvadratkomplettering ger att z 2 +2iz −1−2i = (z +i)2 −2i, så att ekvationen
är ekvivalent med att w = z + i och w2 − 2i = 0. Vi ska alltså lösa
w2 = 2i.
Nu är 2i = 2eiπ/2 , så lösningarna till ekvationen i w är
√
√ 1
i
w1 = 2eiπ/4 = 2( √ + √ ) = 1 + i
2
2
och
√
w2 = 2eiπ/4+iπ = −w1 = −1 − i.
Lösningarna till den ursprungliga ekvationen är alltså
z = −i ± (1 + i) = −1 − 2i, eller 1.
4. Övningar
(1) Skriv
tal vars absolutbelopp och argument är
√ på formen a + ib de komplexa
√
a) 2,
b) 1, π, c) 2, 9π/4, d) 1, π/2, e) 1, 2π,
√ π/4,
f ) 1/ 2, −π/4, g) 1, −100π.
(2) Rita följande komplexa tal i ett talplan och ange argument,
√ absolutbelopp
√ och
polär form. a) 17,
b) −11, c) i, d) −1 + i, e) i 3 − 1, f ) 3 + 3i
π
π
2π
2π
(3) Vad är absolutbeloppet av a) cos +i sin , b) cos +i sin , c) cos θ+
8
8
27
27
i sin θ.
π
2π
(4) Vad är absolutbeloppet
av a) ei 8 ,
b) ei 27 , c) eiθ .
√
√
1
3 100
(5) Beräkna ( +i
) . (Att cos(π/3) = 1/2 och sin(π/3) = 3/2 är användbart.)
2
2
(6) Använd de Moivre’s formel för att uttrycka sin 4θ och cos 4θ i termer av sin θ och
cos θ
(7) Använd Eulers formler för att härleda ett uttryck för sin α cos β, (i termer av
andra sinus- och cosinusvärden.)
(8) Uttryck sin4 θ i termer av cos θ, cos 2θ, cos 3θ, cos 4θ.
(9) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln π/2 moturs kring origo. I vilket
tal övergår 1 respektive −3 + 2i? Och a + bi? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal.
(10) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln 5π/6 moturs kring origo och
multipliceras med 2. I vilket tal övergår 1 respektive −1+i? Beskriv avbildningen
som multiplikation med ett komplext tal.
1
(11) Vad är ez om z är a) 0,
b) iπ/2, c) ln 2 + iπ/4, d) iπ, e) 3 − i.
2
(12) Bestäm real- och imaginärdelarna av funktionerna
90
6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
1 + ix
, x ∈ R,
1 − ix
b) x 7→ e(−1+i)x , x ∈ R.
Visa att om z = x + iy, så är |ez | = ex . Vad är Arg(ez )?
Lös ekvationerna
a) z 2 = 5 + 12i
b) z 2 − (2 + 2i)z − 5 − 10i = 0
Lös ekvationerna (observera att du har tillgång till 2 metoder!)
a) z 2 = −i,
b) z 2 = 1 + i.
Lös följande ekvationer och rita ut rötterna i det komplexa talplanet
b) z 3 = 1 + i, c) z 5 = 4i.
a)
(13)
(14)
(15)
(16)
x 7→
a) z 3 = i,
