TSRT62 Modellbygge & Simulering
Föreläsning 7
Christian Lyzell
Avdelningen för Reglerteknik
Institutionen för Systemteknik
Linköpings Universitet
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
1 / 28
Sammanfattning: Föreläsning 6
Modellutvärdering:
Överanpassning
Validering mot data som inte använts vid skattning
Kriterier som bestraffar antalet parametrar
Residualtester
Fysikaliska modeller kontra svartlådemodeller
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
2 / 28
Föreläsning 7: Fysikaliska principer
Innehåll
Allmänna modelleringsprinciper
Fysikaliska modeller: dimension, dimensionslösa variabler
Modellförenkling
Analogier mellan fysikaliska domäner
Läsanvisning: Kapitel 4 – 5 i boken
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
3 / 28
TSRT62
Modellbygge
och simulering
Ickeparametriska
metoder
Bindningsgrafer
Systemidentifiering
Parametriska
metoder
C. Lyzell (LiTH)
Fysikaliska
principer
Differentialalgebraiska
ekvationer
TSRT62 Modellbygge & Simulering
Objektorienterat
modellbygge
2013
4 / 28
Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden
Övergripande princip för modellbygge
Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem.
Allmän struktur.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
5 / 28
Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden
Övergripande princip för modellbygge
Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem.
Allmän struktur.
Fas 2: Fysikaliska basekvationer. Dimensioner. Approximationer.
Idealiseringar.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
5 / 28
Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden
Övergripande princip för modellbygge
Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem.
Allmän struktur.
Fas 2: Fysikaliska basekvationer. Dimensioner. Approximationer.
Idealiseringar.
Fas 3: Strukturera ekvationerna. T.ex. en tillståndsbeskrivning.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
5 / 28
Dimensionslösa variabler
Några historiska passagerarfartyg:
Kaiser Wilhelm der Grosse (1898), 22
knop, 200m
Lusitania (1909), 25 knop, 240m
Rex (1933), 27 knop, 269m
Queen Mary (1938), 29 knop, 311m
foto: Olivier Aumage
Varför är kvoten hastighet/(roten ur längden) ungefär konstant (0:8 i
SI-enheter)? Varför är värdet för Titanic avsevärt lägre?
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
6 / 28
Dimension
Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes).
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
7 / 28
Dimension
Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes).
Exempelvis gäller att
[densitet] = ML
[kraft] = M ·
där
M = [massa];
C. Lyzell (LiTH)
3
L
= MLT
T2
T = [tid];
2
L = [längd]
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
7 / 28
Dimension
Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes).
Exempelvis gäller att
[densitet] = ML
[kraft] = M ·
där
3
L
= MLT
T2
M = [massa];
T = [tid];
Exempel: I Bernoullis lag v =
p2gh gäller
h p i
2
L = [längd]
v = gh
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
7 / 28
Dimension
Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes).
Exempelvis gäller att
3
[densitet] = ML
[kraft] = M ·
där
L
= MLT
T2
M = [massa];
T = [tid];
Exempel: I Bernoullis lag v =
p2gh gäller
h p i
p
v = gh = LT
1
(LT
2
2
L = [längd]
L) 0:5 = L0 T0
Alltså, v = gh är ett exempel på en dimensionslös storhet.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
7 / 28
Buckinghams sats
Fysikaliska samband måste vara dimensionsmässigt “korrekta”.
Buckinghams sats: Dimensionsmässigt korrekta samband kan skrivas
om som samband mellan dimensionslösa variabler.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
8 / 28
Framdrivning av farkoster
Hur beror motståndet vid framdrivning av fordon (t.ex. fartyg) av olika
faktorer?
Relevanta variabler:
F kraften
g tyngdkraftsaccelerationen
V hastigheten
d relevant längddimension
viskositeten
densiteten
c ljudhastigheten
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
9 / 28
Framdrivning: Dimensionslösa variabler
Bland de sju variablerna kan man bilda fyra oberoende dimensionslösa
variabler:
Pc =
F
V 2d 2
Vd
Tryckkoefficienten
Re = Reynolds tal
M = Vc Machtalet
Fr =
V2
gd
Froudes tal
Kraften för att driva fram en farkost ges alltså av
F = V 2 d 2 f (Re ; M ; Fr )
för någon funktion f .
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
10 / 28
Elektriska Kretsar: Komponenter
Relation mellan spänning u(t) och ström i(t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
11 / 28
Elektriska Kretsar: Komponenter
Relation mellan spänning u(t) och ström i(t)
Spole:
u(t) = L
C. Lyzell (LiTH)
d
i(t);
dt
i(t) =
1
L
Zt
TSRT62 Modellbygge & Simulering
u(s) ds
0
2013
11 / 28
Elektriska Kretsar: Komponenter
Relation mellan spänning u(t) och ström i(t)
Spole:
d
i(t);
dt
i(t) =
d
u(t);
dt
u(t) =
u(t) = L
1
L
Zt
Kondensator:
i(t) = C
C. Lyzell (LiTH)
1
C
TSRT62 Modellbygge & Simulering
u(s) ds
0
Zt
i(s) ds
0
2013
11 / 28
Elektriska Kretsar: Komponenter
Relation mellan spänning u(t) och ström i(t)
Spole:
d
i(t);
dt
i(t) =
d
u(t);
dt
u(t) =
u(t) = L
1
L
Zt
Kondensator:
i(t) = C
1
C
u(s) ds
0
Zt
i(s) ds
0
Motstånd (linjärt)
u(t) = Ri(t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
11 / 28
Elektriska Kretsar: Sammankopplingar
Kirchoffs lagar för ström och spänning
Strömmar summeras till noll vid knutpunkt:
X
k ik = 0; k =
k
(
+1; ik inåtriktad
1; ik utåtriktad
Spänningar runt en slinga summeras till noll:
X
k
C. Lyzell (LiTH)
k uk = 0; k =
(
+1; ik spänningsökning
1; ik spänningsfall
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
12 / 28
Exempel: Elektrisk krets
R
C. Lyzell (LiTH)
+
vs
L
C
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
13 / 28
Exempel: Elektrisk krets
L
R
+
vs
C
Tillståndsmodell:
di
1
= (vs
dt
L
dvc
1
= i
dt
C
C. Lyzell (LiTH)
Ri
vc )
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
13 / 28
Mekanik (Translation): Komponenter
Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
14 / 28
Mekanik (Translation): Komponenter
Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t)
Newtons andra lag:
d
F (t) = m v (t);
dt
C. Lyzell (LiTH)
1
v (t) =
m
TSRT62 Modellbygge & Simulering
Zt
F (s) ds
0
2013
14 / 28
Mekanik (Translation): Komponenter
Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t)
Newtons andra lag:
d
F (t) = m v (t);
dt
1
v (t) =
m
Fjäder:
1 d
F (t);
v (t) =
k dt
C. Lyzell (LiTH)
Zt
F (s) ds
0
Zt
F (t) = k
TSRT62 Modellbygge & Simulering
v (s) ds
0
2013
14 / 28
Mekanik (Translation): Komponenter
Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t)
Newtons andra lag:
d
F (t) = m v (t);
dt
1
v (t) =
m
Fjäder:
1 d
F (t);
v (t) =
k dt
Zt
F (s) ds
0
Zt
F (t) = k
v (s) ds
0
Friktion (viskös)
F (t) = bv (t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
14 / 28
Mekanik (Translation): Sammankopplingar
Krafter summeras till noll vid knutpunkt:
X
k Fk = 0
k
Hastigheter lika vid knutpunkt:
1 v1 = 2 v2 = = n vn
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
15 / 28
Exempel: Mekaniskt system
m
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
16 / 28
Exempel: Mekaniskt system
m
Tillståndsmodell:
dv
1
= (F
dt
m
dFk
= kv
dt
C. Lyzell (LiTH)
bv
Fk )
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
16 / 28
Hydraulik: Komponenter
Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
17 / 28
Hydraulik: Komponenter
Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t)
Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad:
p(t) = Lf
C. Lyzell (LiTH)
d
Q(t);
dt
Q(t) =
1
Lf
TSRT62 Modellbygge & Simulering
Zt
p(s) ds
0
2013
17 / 28
Hydraulik: Komponenter
Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t)
Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad:
p(t) = Lf
d
Q(t);
dt
Q(t) =
d
p(t);
dt
p(t) =
1
Lf
Tank, lagring av flöde
Q(t) = Cf
C. Lyzell (LiTH)
1
Cf
TSRT62 Modellbygge & Simulering
Zt
p(s) ds
0
Zt
Q(s) ds
0
2013
17 / 28
Hydraulik: Komponenter
Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t)
Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad:
p(t) = Lf
d
Q(t);
dt
Q(t) =
d
p(t);
dt
p(t) =
1
Lf
Tank, lagring av flöde
Q(t) = Cf
1
Cf
Zt
p(s) ds
0
Zt
Q(s) ds
0
Strömningsmotstånd (laminär strömning)
p(t) = Rf Q(t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
17 / 28
Hydraulik: Sammankopplingar
Flöden summeras till noll vid knutpunkt:
X
k Qk = 0
k
Tryck lika vid knutpunkt:
1 p1 = 2 p2 = = n pn
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
18 / 28
Exempel: Hydraliskt system
6
6
Q1
pa
-
Q3
Q2
p1
-
p2
Q4
-
pb
Q5
Vätskan är inkompressibel.
pa , p1 , p2 och pb är tryck.
Q1 , Q2 , Q3 , Q4 och Q5 är volymflöden.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
19 / 28
Termiska system: Komponenter
Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
20 / 28
Termiska system: Komponenter
Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t)
Uppvärmning (lagring av värmeflöde):
q(t) = C
C. Lyzell (LiTH)
d
T (t);
dt
T (t) =
1
C
TSRT62 Modellbygge & Simulering
Zt
q(s) ds
0
2013
20 / 28
Termiska system: Komponenter
Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t)
Uppvärmning (lagring av värmeflöde):
q(t) = C
d
T (t);
dt
T (t) =
1
C
Zt
q(s) ds
0
Värmemotstånd (1=U)
q(t) = AU(T1
C. Lyzell (LiTH)
T2 )
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
20 / 28
Analogier
Analogier: eletriskt – mekaniskt – hydrauliskt – termiskt
Två typer av variabler
I
I
A. Flödesvariabler
ström
hastighet
volymflöde
värmeflöde
B. Intensitetsvariabler
spänning
kraft
tryck(fall)
temperatur
För båda dessa finns additionsregler
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
21 / 28
Analogier: Flödesupplagring
Flödesupplagring:
C·
d
(intensitet) = flöde
dt
C “kapacitans”
Elektriskt: kapacitans
Mekaniskt: invers fjäderkonstant
Hydrauliskt: flödeskapacitans A=(g )
Termiskt: värmekapacitet
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
22 / 28
Analogier: Intensitetsupplagring
Intensitetsupplagring:
L·
d
(flöde) = intensitet
dt
L “induktans”
Elektriskt: induktans
Mekaniskt: massa
Hydrauliskt: inertans
`=A
Termiskt: —
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
23 / 28
Analogier: Förluster
Förluster:
intensitet = (flöde)
flöde = (intensitet)
Elektriskt: resistans
Mekaniskt: friktion
Hydrauliskt: strömningsmotstånd
Termiskt: värmemotstånd
Ofta linjärt samband i det elektriska fallet – olinjärt i de övriga (kan
eventuellt approximeras med linjärt vid små förändringar av variablerna)
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
24 / 28
Modellförenkling
Små effekter försummas; approximativa samband
Separation av tidskonstanter
Aggregering av tillstånd
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
25 / 28
Modellförenkling: Små effekter försummas; approximativa
samband
Detta sker alltid. Man antar t.ex. att något är
masslöst
friktionslöst
inkompressibelt
linjärt
perfekt blandat
ideal gas
Viktigt: balanserade approximationer
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
26 / 28
Separation av tidskonstanter
Långsamma storheter approximeras som konstanta.
Snabba storheter approximeras som oändligt snabba – dynamiska
samband blir statiska.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
27 / 28
Aggregering av tillstånd
Flera tillståndsvariabler sammanförs till en.
Mest drastiskt exempel: rumsdiskretisering av partiella
differentialekvationer – oändligt många tillstånd approximeras av ett
fåtal.
C. Lyzell (LiTH)
TSRT62 Modellbygge & Simulering
2013
28 / 28
