Lösning på problem 1 ” Nisse Bärs i vildmarken ”
Problemet kan ställas upp till följande trigonometriska problem där sträckan X och vinkeln φ°
söks.
3
∠φ °
X
7
60°
5
Det finns flera olika lösningar på detta problem. Här visas tre olika lösningar I), II) och III).
Först en matematiskt lite tung lösning, sen en lösning med hjälp av trianglars likformighet och
till sist den galantaste lösningen påhittad av Lars Blomberg i Växjö.
I)
3
c ∠δ
∠φ °
b
∠α = abd
∠β = dbc
∠δ = dcb
∠β
∠α
A
X
7
d
60°
5
a
För man in en hjälplinje och beteckningar på de olika hörnen erhålls ovanstående figur.
Nu går det att gneta sig fram med hjälp av cosinussatsen och sinussatsen samt det kända fenomenet att
känner man tre av en godtycklig triangels sidor och/eller vinklar går det alltid att beräkna de
återstående.
1.
A beräknas mha cosinussatsen
A2 = 72 + 52 - 2 x 7 x 5 x cos 60 A2 = √39
2.
Vinkeln ∠α (abd) beräknas mha sinussatsen
sin(α) / 5 = sin 60 / A
sin(α) = 5 / 2√13
3.
Eftersom vinkeln abc är 90° blir ∠β = 90° + ∠α
4.
X beräknas mha cosinussatsen
X2 = 32 + A2 - 2 x 3 x A x cos(β)
Där cos(β) = cos(α + 90)
Enligt trigonometrins ekvationer är
cos(α + 90) = - sin(α)
Enligt ovan gäller
- sin(α) = - 5 / 2√13
Detta ger
X2 = 9 + 39 + 2 x 3 x √39 x 5 / 2√13
X = √ (48 + 15√3)
5.
= 8,601 km
Vinkeln ∠δ beräknas mha sinussatsen
sin(δ) / A = sin(β) / X
Ska man här få fram en exakt lösning på detta blir det lite ”grisigt” .
Först hjälpsambanden sin(β) = sin(α + 90) = cos(α) = √ (1 – (sin(α))2 )
sin(δ) = ( √39 x √(1 - 25/(4x13) )
/ √ 48 + 15√3 = 0,5232
Vilket ger δ = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 °
II)
A
3
∠φ °
E
D
∠δ
C
X
B
7
60°
5
Om man utökar figuren åt höger och för in delsträckorna A, B, C, D och E kan följande
samband ställas upp:
1)
A / 7 = tan 60 °
vilket ger A = 7 x √3
2)
A2 + 7 2 = ( 5 + B ) 2
49 x 3 + 49 = 4 x 49 = ( 5 + B ) 2
Vilket ger 2 x 7 = 5 + B dvs B = 9
3)
Likformighet ger: C / B = 7 / ( 5 + B )
dvs C = 9 x 7 / ( 5 + 9 ) = 9 / 2
4)
Ny likformighet ger : D / C = A / 7 dvs D = (9/2) x 7√3 / 7 = (9/2) x √3
5)
E = A – D = 7 x √3 - (9/2) x √3 = (5/2) x √3
6)
X2 = ( 3 + E )2 + C2 = ( 3 + (5/2) x √3 )2 + ( 9 /2 )2 = 9 + 15 x √3 + (25/4) x 3 + 81 / 4
vilket ger X = √ (48 + 15 x √3 ) = 8,601 km
7)
tanδ = C / ( 3 + E ) = 9/2 / ( 3 + 5/2 x √3 ) = 0,6139
vilket ger δ = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 °
III)
3
∠φ °
∠α
C
X
7
B
∠α
A
60°
5
1)
A = 5 x cos 60° = 5/2
2)
B2 + A2 = 52 vilket ger B = √(25 - 25/4 ) = (5/2) x √3
3)
C = 7 - A = 9/2
4)
X2 = (B + 3 )2 + C2 vilket ger X = √ [ (25/4) x 3 + 15 x √3 + 9 + 81/4 ]
vilket ger X = √ (48 + 15 x √3 ) = 8,601 km
5)
Tan(α) = C / ( B + 3 ) = (9/2) / ((5/2) x √3 + 3 ) = 0,6139
vilket ger α = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 °
