Projekt 2

1
Projekt 2
Fiskarna
Jesper blomstrand
Per Warnström
Henrik Karlsson
2
Problembeskrivning
Denna uppgift handlar om att studera en modell för populationstillväxt. Vi studerar
frändringen av antalet fiskar i en damm från ett år till ett annat. Antag att P(t) är storleken på
en population vid tiden t. Om P(t) inte är alltför stor så är det ett rimligt antagande att
tillväxten är proportionell mot antalet individer i populationen. Populationer tillåts i allmänhet
inte att växa obegränsat utan det finns en gräns M för vilket populationen aldrig kan nå över.
En matematisk modell som kan vara användbar i denna situation är den så kallade logistiska
ekvationen:
 P(t ) 
P(t )  kP(t )1 

M 

Vi har valt gäddor som tar stor plats och låg tillväxt vilket ger M =190 och
proportionalitetskonstanten k =0.02 som lämpliga värden.
Följande frågor har vi studerat:
1. Förklara varför den logisktiska ekvationen är en rimlig modell för populationstillväxt,
med en övre populationsgräns. Vilka förenklingar/antaganden har gjorts?
2. Plotta det riktningsfält som hör till differentialekvationen y’=ky(1-y/M).
3. Lös differentialekvationen exakt med någon analytisk metod och plotta lösningarna,
för några olika begynnelsevärden P(0), i samma figur som riktningsfältet.
4. Vad händer med fiskpopulationen då t→∞? När är tillväxten av antalet fiskar som
störst?
5. Antag att man ”planterar in” 400 fiskar i en viss damm som maximalt rymmer 4000
fiskar. Antag vidare att fiskpopulationen i dammen förökar sig med en hastighet av 15
fiskar/månad vid själva utplanteringstillfället. Hur många fiskar finns det i dammen ett
år efter utplanteringen?
6. Hur förändras modellen P’=kP(1-P/M) om man plockar upp ett antal fiskar per månad
ur dammen? Hur många fiskar kan man maximalt plocka upp ur dammen varje månad
utan att fisken där tar slut (studera till exempel exemplet i 5).
7. För att göra större förtjänst när man väljer de fiskar som man plockar upp ur dammen,
kan det (kanske) vara bättre att variera fisket och plocka upp olika antal fiskar varje
månad. Antag att man tar upp Csin2(t/12) stycken fiskar i månad t. Hur stor kan
konstanten C vara utan att fisken tar slut? Hur stor är förtjänsten vid denna typ av fiske
jämfört med konstant fiske? Kan ni föreslå någon annan typ av fiskemodell som ger
större förtjänst?
8. I en viss damm räknades antalet fiskar vid olika tidpunkter. Alla data från dessa
räkningar finns samlade i filen fiskar.m. Vilka värden på P(0), k och M stämmer bäst
in på värdena i filen fiskar.m.
9. Ge exempel på några andra situationer/populationer där den logistiska ekvationen
skulle kunna vara en användbar modell.
3
Fråga 1.
Förklara varför den logisktiska ekvationen är en rimlig modell för populationstillväxt, med en
övre populationsgräns. Vilka förenklingar/antaganden har gjorts?
 P(t ) 
P (t )  kP(t )1 

M 

Om man betraktar den logiska ekvationen ser man att det är konstanten k som bestämmer
 P(t ) 
högsta tillväxthastigheten. Högt k -värde leder till snabb tillväxt. Termen 1 
 visar om
M 

populationen är nära den övre gränsen M . Om populationen är i närheten av M blir termen
mycket liten vilket leder till att populationen långsamt ökar eller avtar. Då populationen P(t) >
M kommer populationen att minska, vilket är naturligt eftersom M är den övre gränsen för
populationens storlek Den övre gränsen M är i ekvationen en konstant. Men i verkligheten
kan man tänka sig att M kan variera något med tiden beroende på tillgång till föda etc. Men
att det trots allt finns en övre gräns kan ses som en naturlig följd då brist på föda, utrymme
samt sjukdomar till slut blir ett faktum i allt för stora populationer.
Många av dessa faktorer påverkar naturligtvis också tillväxtshastigheten och beaktas därför
m h a tillväxtfaktorn k . k bestäms av hur frodigt det vatten fiskarna lever i är. Hur stor den
naturliga överlevnadsandelen är för just denna fiskpopulation. Vi tolkar alltså k -värdet som
en förenkling av verkligheten där rovdjur och sjukdomar ingår.
4
Fråga 2.
Plotta det riktningsfält som hör till differentialekvationen y’=ky(1-y/M).
Vi plottar differentialekvationens riktningsfällt med följande Matlabkommando:
[x,y]=meshgrid(0:4:50,0:10:300);
k=0.02;M=190;f=inline('k.*y.*(1-(y./M))','x','y','k','M');dy=f(x,y,k,M);
L=sqrt(1+dy.^2);quiver(x,y,1./L,dy./L);
axis([0 60 10 300]);
Fig. 1 . Riktningsfält till differentialekvationen y’=ky(1-y/M).
I Figuren (Se. Fig. 1. ) ovan syns det förhållandevis tydligt att populationens max-värde
M =190 individer.
5
Fråga 3.
Lös differentialekvationen exakt med någon analytisk metod och plotta lösningarna, för några
olika begynnelsevärden P(0), i samma figur som riktningsfältet.
Diffekvationen y  ky1 y / M  är separabel och kan skrivas om.
y´
dy
M
k 
 
dy   kdt 
y
y
y(M  y)
y (1  )
dt ( M  y )
M
M
ln y  ln M  y  kt  C
0  y  M  ln
y
y
 kt  C 
 e kt  e C ,  D  e C
My
(M  y)
Då t  0 ger: y 0 
DM
1 D

D
 y 
D  Me kt
(1)
1  D  e kt
y0
(2)
M  y0
(1) och (2) ger:
P(t ) 
y0M
( M  y 0)ekt  y 0
Den exakta lösningen plottas för följande begynnelsevillkor y 0 tillsammans med
riktningsfältet (Se. fig. 2.) Då det visat sig att våra gäddor förökar sig långsamt har vi plottat
kurvorna under en lång tid. Detta syns tydligast i figur 3. (Se. Fig. 3.)
t=0:1:250;k=0.02;M=190;
y0=10;
y1=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
y0=50;
y2=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
y0=100;
y3=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
y0=400;
y4=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4);
6
Figur 2. Riktningsfält plottat tillsammans med kurvor för olika startvärden.
Figur 3. Analytiskt lösta differentialekvationer med olika begynnelsevärden.
Vi ser att ett lågt begynnelsevärde leder till en långsam tillväxt initialt. Samtidigt som en
kraftig överbefolkning leder till att populationen minskar snabbt.
7
Fråga 4.
Vad händer med fiskpopulationen då t→∞? När är tillväxten av antalet fiskar som störst?
Då tiden går mot oändligheten går populationen mot sitt gränsvärde M .
I figur 3 (Se Fig. 3) ser vi att tillväxten har ett maximum vid sin deflexionspunkt, dvs. då
andraderivatan P (t )  0 . Något som vid lite närmare resonemang är ganska uppenbart. Då
P (t ) är kurvan över tillväxthastigheten då maxpunkten sökes deriverar vi uttrycket och sätter
det lika med noll och får tillväxthastighetens maxpunkt, dvs. P (t )  0 ger oss maxpunkten.
Derivering 2 gånger m a p tiden ger:
kP(t ) P(t )
M
k
P (t )  kP (t )  P(t ) P (t )  P (t ) P(t )  
M
2k
P (t )  kP (t ) 
P(t ) P (t )  P (t )  0  
M
P (t )  kP(t ) 
kP (t ) 
1
2k
P(t ) P (t )  0 
M
2 P(t )
0 
M
P (t ) 
M
2
Tillväxten är maximal då P (t ) 
M
. I vårt fall när populationen är 95 gäddor, vilket stämmer
2
väl överens med våra kurvor.
8
Fråga 5.
Antag att man ”planterar in” 400 fiskar i en viss damm som maximalt rymmer 4000 fiskar.
Antag vidare att fiskpopulationen i dammen förökar sig med en hastighet av 15 fiskar/månad
vid själva utplanteringstillfället. Hur många fiskar finns det i dammen ett år efter
utplanteringen?
Begynnelsevärdet P(0)  400 och gränsvärdet M  4000 .
Sökt: proponalitetskonstanten k
För att lösa ut k måste vi betrakta differentialekvationen efter 1 månad
P(1)  415 , y 0  400 och M  4000 ger:
P(t ) 
415 
y0M
( M  y 0)e  kt  y 0

insättning

400  4000
239
 k   ln
 k 1
249
(4000  415)e
 400
Efter 12 månader fås:
P(12) 
400  4000
(4000  400)e
ln
239
12
249
 615 fiskar
 400
Det finns alltså 615 fiskar i dammen efter 1 år.
9
Fråga 6.
Hur förändras modellen P’=kP(1-P/M) om man plockar upp ett antal fiskar per månad ur
dammen? Hur många fiskar kan man maximalt plocka upp ur dammen varje månad utan att
fisken där tar slut (studera till exempel exemplet i 5).
Enligt tidigare så fås att nyproduktionen av fiskar är som störst då populationen P (t )  M / 2 .
Med data från uppgift 5 får vi följande Matlabkod:
t=0:1:250;k=-log(239/249);M=4000;
y0=400;
y=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
find(y>2000)
Med hjälp av Matlab fås att max tillväxthastighet nås efter 55 månader. Genom att jämföra
antalet fiskar efter 55 månader med antalet fiskar efter 56 månader kan maximala
fångstkvoten bestämmas.
Kvot = y(56)-y(55)
Kvot =
40.9741
Detta medför att efter 55 månader kan man regelbundet plocka upp 40 fiskar per månad utan
att fiskbeståndet dör ut.
10
Fråga 7.
För att göra större förtjänst när man väljer de fiskar som man plockar upp ur dammen, kan
det (kanske) vara bättre att variera fisket och plocka upp olika antal fiskar varje månad.
Antag att man tar upp Csin2(t/12) stycken fiskar i månad t. Hur stor kan konstanten C vara
utan att fisken tar slut? Hur stor är förtjänsten vid denna typ av fiske jämfört med konstant
fiske? Kan ni föreslå någon annan typ av fiskemodell som ger större förtjänst?
För att undersöka hur en varierande upptag av fiskar per månad ändrar vi den ursprungliga
differentialekvationen enligt följande:
y   ky1  y / M   C  sin 2 (t / 12) . En M-fil skapas i Matlab enligt följande kommando:
function yprim=yprimfunk(t,y)
yprim=(-log(239/249)).*y.*(1-y./4000)-10.*(sin(t./12)).^2;
Konstanten C sätts till 10 sedan stegar vi 10. När kurvan ej är växande längre minskar vi
konstanten med 1 fram till den åter är växande. Vi ringar alltså in konstanten C :s maxvärde.
För att lösa differentialekvationen används kommandot ode45 i Matlab. Poängteras bör att det
finns andra ode-kommando som också löser differentialekvationer (Kanske hade de varit
bättre).
Matlabkod:
[t,y]=ode45(@yprimfunk,[55 200],2000);
Vi förutsätter att man börjar fiska först efter 55 månader då tillväxten är maximal och
fiskbeståndet är 2000 fiskar.
Vi plottar för alla olika C enl:
plot(t,y);
hold
Vi får följande kurvor för respektive C -värde (Se. Fig. 4.) Där kurvan för C :s maxvärde visas
i rött. Vi konstaterar att C  81 utan att fisken tar slut.
11
Figur 4. Totala antalet fiskar som beror av konst. C
Jämförs förtjänsten av de olika fiskesätten över 120 månader fås:
En konstant upptagning av 40 fiskar under 120 månader ger 40*120 = 4800
120
t
En varierad upptagning av fiskar ger C  sin 2 ( )dt =
12
1
120
1
t



C    3  sin( 6t )  C 60  3 sin( 720)   3 sin( 6)  60,3  C
2
2
1


C  81 ger 60,3  81  4883 fiskar under 10 år.
Vi ser att skillnaden i antalet upptagna fiskar inte blir stor. Beroende över vilken period man
betraktar fås lite olika resultat. Detta beror på att den varierande upptagningen bryts vid olika
tillfällen då den pulserar med tiden. Om den bryts då upptagningen är liten fås bättre förtjänst
vid det konstanta fisket och tvärtom om den bryts då upptagningen är maximal.
12
Fråga 8.
I en viss damm räknades antalet fiskar vid olika tidpunkter. Alla data från dessa räkningar
finns samlade i filen fiskar.m. Vilka värden på P(0), k och M stämmer bäst in på värdena i
filen fiskar.m.
Genom att titta på de sista värdena i fiskarna.m ser vi att M ligger mellan 1890 och 1887.
Vidare kan startvärdet approximeras genom att titta på ökningen mellan tiderna 1 och 3. 870 755 = 115 individer detta ger oss ett approximerat startvärde på 755 – 115 = 640. Med dessa
värden som utgångspunkt plottas m-filens (Se. Bilaga) värden tillsammans med ett antal
kurvor för olika värden på M , k och P (0) i Matlab.
k=0.15;M=1888;
y0=680;
y=((y0.*M)./((M-y0).*exp(-k.*t)+y0));
load('fiskar.m');
t=fiskar(:,1);
y2=fiskar(:,2);
plot(t,y,t,y2,’*’)
Fig 5. Fiskarna.m tillsammans med uppskattad kurva.
Figur 5 (Se. Fig. 5) visar kurvan för M =1888, k = 0.15 och P (0) = 680. Denna kurva visar
sig stämma väl överens med m-filens värden.
13
Fråga 9.
Ge exempel på några andra situationer/populationer där den logistiska ekvationen skulle
kunna vara en användbar modell.
Den logiska ekvationen passar in på de flesta populationer där förutsättningarna för
överlevnad ej förändras. Man kan bestämma konstanterna k och M approximativt eller via
undersökande fältarbete. De flesta förökande organismer kan härmed täckas in. Det svåra
ligger i att bestämma k och M för att efterlikna verkligheten. Exempel på olika situationer
där den logiska ekvationen kan anpassas till är:
Saltkoncentrationen i en tank där salt tappas i och blandas idealt medan vatten släpps ut.
k =?, M =100%
Alkoholkoncentrationen i in kropp. Negativt k -värde som beskriver nedbrytningen av alkohol
där M = 0, k = -k.
Radioaktivt sönderfall.
Befolkningsökningen i ett land.
Värmeökningen i ett bröd som bakas i en ugn. Där t.ex. M = 225° , k beror på
värmeöverföringshastigheten.
14
Bilaga
fiskar.m
% Den första kolumnen anger tiderna då man räknade fiskar i dammen.
% Den andra kolumnen anger antalet fiskar i dammen vid respektive tillfälle.
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
755
870
1042
1171
1302
1393
1506
1588
1647
1729
1772
1789
1835
1822
1865
1872
1867
1880
1898
1889
1876
1882
1877
1890
1887
15