1
Matematikens tecken ::
v0.5
Tecken från mängdlära och logik
∪
Unionen av två mängder: de element som ligger i antingen den ena eller den andra eller i
båda mängderna.
∩
Snittet av två mängder: de element som ligger i båda mängderna
∈
x ∈ A betyder att x tillhör A, dvs x är ett element i A.
3
Samma betydelse som förra men med hjälp av denna kan man skriva elementet till höger om
mängden: A 3 x och utläsa det som att A innehåller elementet x.
∈
/
x∈
/ A betyder att x inte tillhör A, dvs x är inte ligger i A.
{, }
Mängdklammrar: t.ex. så menar vi med {1, 2} mängden som har talen 1 och 2 som
element.
⊂
A ⊂ B betyder att A är en delmängd av B, dvs att alla element i A också är element i B.
⊃
B ⊃ A betyder exakt samma sak som i föregående, dvs att A är en delmängd av B. Denna
variant ger oss möjligheten att läsa ut detta som att B innehåller mängden A.
:
Utläses ”sådan att”, t.ex. {x ∈ Q : x2 = 2}. Detta utläses: ”mängden av alla rationella tal
sådan att dess kvadrat är lika med
√ 2”. (Det finns en sats som säger att det inte finns några
rationella tal vars kvadrat är 2: 2 är irrationellt, varför denna mängd är tom, vilket leder
oss till nästa tecken:
∅
Detta är tecknet för den tomma mängden, mängden som inte innehåller något element alls.
∀
En s.k. kvantor. Om jag använder denna symbol så brukar det vara en förkortning av ”för
alla”
∃
Förkortning av ”det existerar”. Exempel på ett uttryck med de två senaste symbolerna:
∀x 6= 0 ∈ R ∃ a ∈ R : xa = 1
som utläses
”för alla reella tal som inte är noll så existerar det ett reellt tal a som multiplicerat med x
blir ett.”
(Hur skulle vi skriva detta a? Jo, 1/x är det enda tal som, multiplicerat med x blir 1. Således
är alltså a = 1/x, vilket man också får om man löser ut a ur ekvationen xa = 1!)
Olikheter
<
6
>
>
Strikt mindre än. x < y betyder att x är strikt mindre än y. Det tillåts inte att x är lika
med y.
Mindre eller lika med. x 6 y tillåter att x är mindre än y men det är också okej att x = y.
Strikt större än.
Större eller lika med.
2
Beskrivning av intervall
Ett intervall (a, b] på reella linjen definieras av
(a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}
Notera alltså att krokig parantes ”(” betyder att x inte tillåts vara lika med a. Dvs ändpunkten a
ligger inte i intervallet (a, b]. Den fyrkantiga parentesen ”]” betyder här att den högra gränsen b
faktiskt ligger i intervaller, dvs b ∈ (a, b].
Exempel 1.
Intervallet definierat av [−1, 1) betyder samma sak som −1 6 x < 1
Exempel 2. Om oändligheten förekommer i ett av intervallers gränser. T.ex. om vi ska skriva
mängden {x ∈ R : x > 0} så är ju alla tal större än noll tillåtna oavsett hur stora de är. Denna
mängd skriver vi då mha av olikheterna 0 < x < ∞ eller som intervall mha (0, ∞). Notera att vi
inte tillåter likhet med oändligheten eftersom ∞ inte är ett riktigt reellt tal.
Tecken för några viktiga talmängder
N
De naturliga talen, dvs de positiva heltalen. Ibland kan man se att man låter 0 ∈ N.
Z
Alla hela tal.
Q
Alla rationella tal, dvs kvoter av hela tal, eller bråk som man ibland kan kalla dem.
R
Alla reella tal
C
De komplexa talen.
Notera att dessa talsystem inkluderar varandra nerifrån och upp, dvs
C⊃R⊃Q⊃Z⊃N
Grekiska alphabetet
Ofta använder vi symboler från det grekiska alfabetet för att beteckna olika saker i matematiken
som t.ex. vinklar och annat.
Först gemener (små bokstäver)
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
epsilon
zeta
eta
θ
ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
teta
teta
iota
kappa
lambda
my
ny
xi
o
π
$
ρ
%
σ
ς
omikron
pi
skrivstilspi
rå
rå
sigma
skrivstilssigma
τ
υ
φ
ϕ
χ
ψ
ω
tau
ypsilon
fi
fi
chi
psi
omega
Sedan har vi Versalerna ::
Γ
∆
Θ
Gamma
Delta
Teta
Λ
Ξ
Π
Lambda
Xi
Pi
Σ
Υ
Φ
Sigma
Ypsilon
Fi
Ψ
Ω
Psi
Omega
ex:intervall
ex:interval-infty
3
Övningsuppgifter
1. Låt A = {x ∈ R : x > 5}. Vilket/vilka av följande påståenden är sanna:
(a) 5 ∈ A
(b) 6 ∈
/A
(c) (6, 10) ⊂ A.
2. Skriv följande mängder som intervall av typen (a, b]
(a) {x ∈ R : −10 6 x < π}
√
√
(b) {t ∈ R : 2 6 t 6 3}
(c) {y ∈ R : y 6 0}
3. Låt I1 = [1, 3) och I2 = (2, 3].
(a) Beräkna intervallet A = I1 ∪ I2
(b) Beräkna intervallet B = I1 ∩ I2
(c) Vilket eller vilka av följande gäller: 3 ∈ A, 3 ∈
/ A, 3 ∈ B, 3 ∈
/ B?
4
Svar till Övningsuppgifterna
1. (a) falskt
(b) falskt
(c) sant
2. (a) [−10, π)
√ √
(b) [ 2, 3]
(c) (−∞, 0]
3. (a) A = I1 ∪ I2 = [1, 3]
(b) B = I1 ∩ I2 = (2, 3)
(c) Här gäller att 3 ∈ A och 3 ∈
/B
