Effekt, energi, batterier – övningar i gymnasiekursen Ellära 1

Effekt, energi, batterier – övningar i gymnasiekursen Ellära 1
EFFEKT, ENERGI, BATTERIER – ÖVNINGAR I GYMNASIEKURSEN ELLÄRA 1 ........................................... 1
EFFEKT I ELEKTRISKA KRETSAR ...................................................................................................................................... 2
Mätning av effekt ....................................................................................................................................................... 2
Effekt med Ohms lag ................................................................................................................................................. 2
ELEKTRISK ENERGI ......................................................................................................................................................... 5
BATTERIER, POLSPÄNNING, EMK OCH INRE RESISTANS ................................................................................................. 8
Elektromotorisk spänning ......................................................................................................................................... 8
Batteriets EMS och inre resistans ............................................................................................................................. 8
Citronbatteri.............................................................................................................................................................. 9
SPÄNNINGSDELNING ..................................................................................................................................................... 11
FACIT ............................................................................................................................................................................ 12
265336316
1/13
Brogårdsgymnasiet
Effekt i elektriska kretsar
Tråden i en glödlampa blir mycket varm när lampan ansluts till en spänning.
Uppenbarligen leder strömmen och spänningen till effektutveckling i
glödtråden. Om strömmen I passerar ett motstånd med spänningsfallet U
beräknas effektutvecklingen på följande sätt:
U
P  UI
I
[Watt]
R
Exempel:
Vilken effekt utvecklas i en glödlampa som ansluts till spänningen 225 V, om
strömmen genom lampan är 0,28 A?
Lösning:
U=225 V
I=0,28A
Effekten: P  UI  225  0,28  63W
Mätning av effekt
Med en Watt-meter kan man enkelt mäta
effektförbrukningen hos elektriska apparater. På
lektionen demonstreras effektförbrukningen hos en
glödlampa, overhead, samt hos en dator med och utan
skärmsläckaren och med skärmen avstängd.
Effekt med Ohms lag
Är endast ström I och resistans R känt kan formeln för effekt ovan skrivas om med Ohms lag:
U  RI
P  UI  RI  I  RI 2
På motsvarande sätt kan I ersättas, om endas spänningen U och resistansen R är känd:
U
I
R
U U2
P  UI  U  
R
R
U2
2
Sammanfattningsvis kan effekten P uttryckas på tre olika sätt: P  UI  RI 
R
Exempel:
Vilken effekt utvecklas i en tråd med resistansen 40 ohm som ansluts till 225 V?
Lösning:
U=225 V
R=40
U 2 225 2

 1266W
Effekt: P 
R
40
Övningar:
1)
När ett elektriskt element ansluts till spänningen 230 V drar
det strömmen 6 A. Vilken effekt utvecklar elementet?
2)
Vilken resistans har ett elektriskt element som utvecklar
effekten 1000 W när det ansluts till nätspänningen 230 V?
265336316
2/13
Brogårdsgymnasiet
3)
Vilken effekt utvecklar ett elektriskt element (elradiator) som har resistansen 25 ohm när det
ansluts till spänningen 230 V?
4)
Vilken effekt utvecklar ett elektriskt element som drar strömmen 8,3 A och har resistansen 29
ohm?
5)
Ett elektriskt element med resistansen 23 ohm utvecklar effekten 1400 W. Hur stor ström drar
elementet?
6)
Till vilken spänning ska elementet med resistansen 23 ohm anslutas för att det ska utveckla
effekten 500 W?
7)
Ett RC-lok utvecklar
effekten 3,6 MW (5000 hk)
vid spänningen 15 kV.
a) Bestäm strömmen i
kontaktledningen.
b) Antag att
kontaktledningen är 10
km lång, har
tvärsnittsarean 1 cm2
och är av koppar.
Bestäm ledniningens
resistans.
c) Vilken effekt utvecklas i ledningen?
d) Hur stor andel av lokets effekt försvinner i ledningen?
8)
I en typisk högspänningsledning överförs strömmen 1000 A vid spänningen 400 kV.
Ledningen är av aluminium och arean är 600 mm2 (6 cm2).
a) Vilken effekt överför
ledningen. Ange svaret i
MW och i hk.
b) Bestäm ledningens resistans
per mil (10 km).
c) Bestäm effektförlusten per
mil.
d) Högspänningsledningar går
ofta från norra till mellersta
Sverige, avstånd på kanske
80 mil. Vad blir
effektförlusten på den
sträckan?
e) Ange effektförlusten i procent av den levererade effekten.
f) Vitsen med hög spänning är att strömmen kan minska utan att effekten påverkas. Minskar
strömmen minskar dock förlusterna i ledningen. I Kina är ledningsspänningen 750 kV och
ABB undersöker möjligheterna med 1 MV. Nackdelen med höga spänningar är dock att
de kräver höga ledningsstolpar för att undvika överslag och de starka magnetfälten (vid
växelström). Antag att vi höjer spänningen till 750 kV i uppgiften vid oförändrad
effektöverföring (400 MW). Vad blir då strömmen i ledningen?
265336316
3/13
Brogårdsgymnasiet
g) Vad blir effektförlusten per mil?
h) Vad blir effektförlusten på 80 mil?
i)
Ange effektförlusten i procent av den levererade effekten.
Läs mer om högspänningsledningar här: http://www.iea.lth.se/et/G4_05.pdf och kolla filmen
om högspänningsarbete: http://www.kossan.se/roligafilmer/helikopter__hoegspaenning__underhaall.htm
9)
Värmespiralen i en varmvattensberedare kan anslutas
både till en fas (vanlig väggkontakt) och till två faser.
Vid en fas är anslutningsspänningen 230 V och vid
två faser är spänningen 400 V (vid trefassystem är
spänningen mellan varje fas 400 V och mellan fas och
nollan 230 V, se
http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem). Fördelen
med att ansluta till två faser är att mer effekt
utvecklas i spiralen och att det då går snabbare att
värma vattnet. Nackdelen är att spiralen slits
snabbare. Nu till frågan: När värmespiralen ansluts
till en fas (230 V) utvecklas effekten 1000 W.
a) Vilken resistans har värmespiralen?
b) Vilken effekt utvecklas om den ansluts till två faser (400 V)?
265336316
4/13
Brogårdsgymnasiet
Elektrisk energi
I kursen Energiteknik i årskurs 1 läste vi om effekt (P) och energi (W), med sambandet:
W  Pt
Där t är tiden i sekunder [s], P effekten i Watt [W] och W är energin i Joule [J]. Energin W mäts
ofta i enheten kWh i samband med elförbrukning. Tiden t mäts då i enheten timmar [h]. Bra att
veta:
1 kWh=3600000 J=3,6∙106 J= 3,6 MJ
Exempel:
Ett dator utvecklar effekten 120 W. Beräkna energiförbrukningen under ett dygn i enheten:
a) Joule
b) kWh
c) Vad kostar det att ha datorn på under ett dygn, om strömmen kostar 1,25 kr/kWh?
d) Vad kostar det att ha datorn på under ett år?
Lösning:
a) W=Pt=120∙24∙60∙60=10,37 MJ
b) W=Pt=120∙24=2880 Wh=2,88 kWh
c) Kostnad=2,88∙1,25=3,6 kr
d) Kostnad=3,6 ∙365=1314 kr/år
Exempel:
En vanlig uteffekt på generatorn från en kärnreaktor är 800 MW. Hur många TWh elenergi
producerar reaktorn maximalt under 11 månader. Räkna med 30,5 dagar per månad. Vanligtvis är
en reaktor avställd under en månad för översyn och byte av uranstavar.
Lösning:
W=Pt=800∙106∙24∙30,5∙11=6,4∙1012 Wh=6,4 TWh
Övningar:
10) Hur mycket energi förbrukar ett element med effekten 1500 W under 5 timmar? Svara i
enheten:
a) Joule
b) kWh
11)
Ett elektriskt element utvecklar effekten 750 W. Hur mycket energi förbrukar elementet under
55 minuter? Svara i enheten:
a) Joule
b) kWh
12)
Under ett kallt vinterdygn står ett element som utvecklar effekten 1500 W på hela dygnet.
Vad kostar elen för detta, om priset för 1 kWh är 90 öre?
13)
En dator med skärm utvecklar effekten 130 W.
a) Hur många kWh el förbrukar datorn om den står på i ett dygn?
b) Vad kostar detta, om 1 kWh kostar 90 öre?
c) Hur många timmar tar det för datorn att förbruka 1 kWh?
14)
Datornörden Kalle stänger aldrig av sin datorserver, som utvecklar effekten 75 W. Vad är
strömkostnaden för servern under ett år, om 1 kWh kostar 90 öre?
265336316
5/13
Brogårdsgymnasiet
15)
I datorsalen finns 22 datorer med skärmar, som var och en tillsammans drar 120 W. Antag att
alla datorerna är på under lektionstid.
a) Hur många Watt utvecklar datorerna tillsammans?
b) Vad är elkostnaden under en skoldag? Räkna med en effektiv tid på 5 timmar och att 1
kWh kostar 90 öre.
c) Vad blir elkostnaden under ett läsår? Räkna med 170 skoldagar. Svar: 2020 kr
16)
Vindkraftverken som byggs i Vänern
utanför Hammarö utvecklar vardera
effekten 3 MW. Hur många:
a) Datorer som kräver 110 W kan ett
vindkraftverk försörja med el?
b) Element på 1500 W kan ett
vindkraftverk försörja med el?
c) Villor som vardera kräver effekten
10 kW kan ett vindkraftverk
försörja med el?
17)
Hur många hästkrafter (hk) motsvarar effekten 3 MW, om 1 hk=735 W?
18)
Ett kärnreaktor utvecklar effekten 900 MW.
a) Hur många vindkraftverk på 3 MW krävs det för att ersätta en kärnreaktor? Svar: 300 st
b) Hur många hästkrafter motsvarar detta?
19)
Antag att ett vindkraftverk genererar 3 MW under 10 % av ett år.
a) Hur många kWh produceras under ett år?
b) Vad ger detta i intäkter, om i kWh ger 90 öre?
20)
En kärnreaktor
producerar årligen
elenergin 6 TWh. Vad
är den elen värd, om i
kWh kostar 90 öre?
21)
Ett svenskt hushåll förbrukar i snitt c:a 15 000 kWh elenergi per år. Antag att Sverige har 3
miljoner hushåll.
a) Hur många kWh förbrukas totalt under ett år i Sverige? Svar: 4,5  1010 kWh
b) Hur många kärnreaktorer krävs för att producera den elen, om en reaktor årligen
producerar 6 TWh?
265336316
6/13
Brogårdsgymnasiet
22)
Ett bilbatteri har kapaciteten 55 Ah vid
spänningen 12 V. Hur mycket elenergi
innehåller batteriet? Svara i enheten:
a) Joule
b) kWh
23)
Ett kylskåp drar 200 W och är igång 15 min varje timme.
a) Vad blir årskostnaden, om elpriset är 1,10 kr/kWh?
b) Vad sparar man i elkostnad under ett år, om man byter till en kyl som drar 150 W?
24)
Ett hus tar emot elektrisk effekt via en aluminiumledning med arean 63 mm2. Ledningens
längd till elstationen är 1200 m. Vid elstationen är spänningen 420 V och vid huset får
spänningen inte understiga 400 V. Vilken maximal effekt kan tas ut vid huset?
25)
Nyare bilar har batteriet i bagageutrymmet
istället för i motorrummet. Detta innebär
att det krävs en längre kabel mellan batteri
och startmotor, samt att effektförlusterna i
kabeln blir större. Vid startögonblicket
kan strömmen uppgå till 100 A. Hur stor
ska kabelns area vara för att
effektförlusten ska vara oförändrad, om
kabelarean är 50 mm2 och kabellängden
0,7 m i äldre bilar, samt kabellängden i
nyare bilar är 3 m?
26)
En elektrisk varmvattensberedare som rymmer 100 liter avger effekten 2500 W om den
ansluts till enfas 230 V.
a) Hur mycket energi krävs för att värma upp vattnet från 10-70 oC? Det går åt 4187 J för att
värma 1 kg vatten en grad.
b) Hur lång tid tar uppvärmningen?
c) Vad kostar uppvärmningen, om 1 kWh el kostar 1,10 kr.
d) Ansluts varmvattensberedaren till tvåfas blir spänningen 400 V. Vilken effekt avger då
beredaren?
e) Hur lång tid tar då uppvärmningen?
265336316
7/13
Brogårdsgymnasiet
Batterier, polspänning, EMK och inre resistans
Elektromotorisk spänning
Vi börjar med att mäta spänningen över en belyst obelastad fotocell. Vi låter sedan
fotocellen driva en liten fläkt och mäter samtidigt spänningen. Belysningen är densamma
som tidigare. Det visar sig att spänningen över fotocellen sjunker när fläkten kopplas in.
Sedan övergår vi till att mäta spänningen på ett obelastat batteri, den s k
tomgångsspänningen. Den är 4,7 V. Vi kopplar sedan in en liten glödlampa i serie med
batteriet. Batterispänningen är då 4,4 V. Man kan undra varför spänningen sjunker över en fotocell
eller över ett batteri som belastas? Skälet är att fotocellen och batteriet har resistans. Går det ström
genom dem blir det ett spänningsfall över resistansen. Alltså sjunker spänningen något. Spänningen
som mäts när det inte går någon ström kallas tomgångsspänning, elektromotorisk spänning (ems)
eller elektromotorisk kraft (emk).
Batteriets EMS och inre resistans
Batteri
Ett batteri kan tänkas bestå av en spänningskälla (E) seriekopplad
A
B
med batteriets inre resistans (Ri), enligt figuren intill.
R
I
E
i
Är strömmen genom batteriet I blir den uppmätta polspänningen
U mellan punkterna A och B:
U = E - IRi (1)
Polspänningen är alltså lika stor som ems då strömmen genom batteriet är noll.
Vi vill nu bestämma ett batteris ems (E) och dess inre resistans (Ri). Vi gör det genom att successivt
koppla in fyra glödlampor parallellt över ett batteri samtidigt som ström och spänning mäts genom
och över batteriet, enligt kopplingen nedan:
Vi för in mätvärdena i en tabell och ritar ett diagram.
Vi anpassar en rät linje till punkterna. Ur diagrammet
bestämmer vi sedan E och Ri.
U
(V)
4,7
4,4
4,1
4,0
3,8
I
(A)
0
0,215
0,420
0,600
0,740
5,0
4,5
U (V)
Antal
Lampor
0
1
2
3
4
4,0
3,5
3,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
I (A)
Batteriets ems fås när strömmen är noll, d.v.s. E = 4,7 V. Batteriets inre resistans Ri är detsamma
som linjens lutning i diagrammet ovan, eller med formel (1):
Ri = (E-U)/I = (4,7-3,8)/0,74 = 1,2 ohm
265336316
8/13
Brogårdsgymnasiet
Citronbatteri
Vi bygger en galvanisk cell, d.v.s. ett batteri, av
citroner koppar- och zinkbleck. Eftersom varje
citron ger spänningen knappt 1 V, seriekopplar vi
tre citroner, enligt bilden till höger. När citronerna
driver en röd lysdiod sjunker polspänningen
något. Läs mer om galvaniska celler på länken
http://school.chem.umu.se/Experiment/185. Eller
varför inte bygga ett potatisbatteri? Här är en länk
om energiinnehåll i olika batterityper:
http://www.batteriladdare.net/laddningsbarabatterier. Här är en länk om olika typer av
batterier, http://batteriforeningen.se/om-batterier/ och här en Powerpoint om batterier:
http://web.kristinehamn.se/skola/anders/ellara/batterier.htm (visas bäst i Explorer).
Exempel:
Ett batteri har EMS E=4,62 V och inre resistansen 0,82 ohm. Batteriet belastas med en lampa som
har resistansen 15 ohm.
a. Rita kopplingsschema
b. Bestäm strömmen i kretsen.
c. Bestäm batteriets polspänning.
Lösning:
a)
Up
Ri
I
E
RL
b) I = E/(Ri + RL) = 4.62/(0.82+15) = 0.292 A  0.29 A
c) Up= E-IRi = 4.62-0.292x0.82 = 4.38 V  4.4 V
Övningar:
27) Ett batteri med EMK 4,5 V och inre
resistansen Ri=1,5 ohm kopplas till ett
motstånd med resistansen 15 ohm, enligt
kretsen till höger. Bestäm:
Batteri
E=4,5 V
B
A
I
a) Strömmen I i kretsen.
b) Batteriets polspänning U mellan
punkterna A och B.
28)
15 
Två batterier med vardera EMK 4,5 V och inre
resistansen Ri=1,5 ohm seriekopplas till ett
motstånd med resistansen 15 ohm, enligt
kretsen till höger. Bestäm strömmen I och
polspänningen UAB när strömbrytaren är:
Batteri
E=4,5 V
Ri
Batteri
E=4,5 V
Ri
B
A
I
a) Öppen som i figuren.
b) Sluten.
265336316
Ri
15 
9/13
Brogårdsgymnasiet
29)
Inre resistansen Ri=1,5 ohm.
Beräkna strömmen I och
polspänningen U mellan A
och B i figuren till höger om
strömbrytaren är:
a) Öppen som i figuren.
Batteri
E=4,5 V
Ri
B
A
I
b) Sluten.
10 
15 
A
30)
Ett batteri har EMK E=12 V och inre
resistansen 1,5 ohm. Bestäm batteriets
polspänning U, d.v.s. spänningen mellan
punkterna A och B i kretsen till höger.
Ri=1,5 
5
10 
15 
E=12 V
B
31)
Vilken effekt frigörs i en skiftnyckel med resistansen 0,1 ohm som kortsluter ett 12 volts
bilbatteri, om vi antar att batteriets inre resistans är noll?
265336316
10/13
Brogårdsgymnasiet
Spänningsdelning
Spänningsdelning är ett enkelt sätt att beräkna och fördela
spänningen mellan två resistorer. Genom att välja olika resistans på
motstånden R1 och R2 kan utspänningen uut varieras, vilken bestäms
med Kirchhoffs andra lag:
uin  i( R1  R2 )
R1
uin
R2
uut
uin
(1)
R1  R2
Utspänningen uut tas ut över motståndet R2:
(2)
uut  iR2
Sätt in (2) i (1) för att eliminera strömmen i:
u R
(3)
u ut  in 2
R1  R2
Eller formulerat som en överföringsfunktion G:
u
R2
(4)
G  ut 
uin R1  R2
Överföringsfunktionen visar hur stor andel utspänningen uut utgör av inspänningen uin.
i
Exempel:
Bestäm uut, då uin=12 V, R1=20  och R2=10 .
Lösning:
u R
12  10 120
uut  in 2 

 4V
R1  R2 20  10 30
Övningar:
32) Bestäm utspänningen uut, om inspänningen uin=5 V, R1=300  och R2=200 , enligt
kopplingsschemat ovan.
33)
Hur ska motståndet R2 väljas, om uin=5 V och R1=300  och man vill ha 1 V på
utspänningen?
12 V
34)
35)
Bestäm spänningen
över motståndet 15 
med hjälp av
spänningsdelning,
d.v.s. utan att först
beräkna strömmen I.
I
15 
20 
Inspänningen är 24 V och utspänningen ska vara 6 V. Bestäm lämpliga värden på R1 och R2
så att de är i storleksordningen 100-500 .
265336316
11/13
Brogårdsgymnasiet
Facit
1)
1380 W
2)
52,9 ohm
3)
2116 W
4)
1998 W
5)
7,8 A
6)
107 V
7)
a) 240 A b) 1,8 ohm
8)
a) 400 MW=544218 hk b) 0,483 ohm/mil c) 483 kW
e) 137369 W f) 11 MW e) 2,8 %
9)
a) 53 ohm
10)
a) 27 MJ b) 7,5 kWh
11)
a) 247500 J  2,48 MJ b) 0,6875 kWh  0,69 kWh
12)
32,40 kr
13)
a) 3,12 kWh b) 2,81 kr c) 7,7 h
14)
591 kr
15)
a) 2640 W b) 11,88 kr c) 2020 kr
16)
a) 27 000 st b) 2000 st c) 300 st
17)
4082 hk
18)
a) 300 st b) 1,2 miljoner hk
19)
a) 2,628 milj kWh  2,6 milj kWh b) Svar: 2365200 kr  2,4 milj kr
20)
5,4 miljarder kr
21)
a) 4,5  1010 kWh b) 7,5 st
22)
a) 237600 J b) 0,66 kWh
23)
a) 482 kr b) 120 kr
24)
7,2 kW
25)
214 mm2
26)
a) 25,1MJ b) 10049 s = 2 h 47 min c) 7,7 kr d) 7561 W e) 3320 s = 55 min
27)
a) 0,27 A
28)
a) I=0 A, UAB=9,0 V
b) I=0,5 A, UAB=7,5 V
29)
a) I=0 A, UAB=9,0 V
b) I=0,5 A, UAB=7,5 V
30)
UAB=10,56 V
31)
1440 W
265336316
c) 103680 W d) 2,9 %
d) 38,6 MW
e) 9,7 %
f) 533,3A
b) 3,0 kW
b) 4,1 V
12/13
Brogårdsgymnasiet
32)
2V
33)
75 
34)
5,1 V
35)
Exempelvis R1=300  och R2=100 
265336316
13/13
Brogårdsgymnasiet