Nollrum. Bildrum.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning.
MATRISENS RANG.
DIMENSIONSSATSEN.
NOLLRUM (Kernel (=kärna) i kursboken)

Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla vektorer x i Rn
som avbildas på nollvektorn i Rm kallas avbildningens nollrum ( eller kärna) och betecknas
med ker(T) eller Null(T) .
Symboliskt beskriver vi nollrummet på följande sätt



ker(T )  { x  R n : T ( x )  0}


Om T anges på matrisformen T ( x )  Ax då är

 
ker( T )  { x  R n : Ax  0}
Med andra ord nollrummet är lösningsmängden till ekvationen
 
T (x)  0 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------BILDRUM (värderum, värdemängd)
Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla bilder ( alla

funktionens värden) T (x ) i Rm kallas avbildningens bildrum (synonymer: värderum,
värdemängd) och betecknas med im(T).
Symboliskt beskriver vi bildrummet på följande sätt
 
im (T )  {T ( x ) : x  R n } .
Ekvivalent definition:




im (T )  { y  R m : y  T ( x ) för någon x  R n }



Alltså kan im(T) definieras som mängden av alla y  R m för vilka ekvationen T ( x )  y ,
 

dvs Ax  y , har minst en lösning x  R n .
==========================================================


För en given matris A av typ m  n kan vi genom T ( x )  Ax definiera T : R n  R m .
Därför definierar vi bildrum Im( A) och nollrum ker( A) för en matris enligt följande.
Definition. Nollrummet ker( A) till en matris A av typ m  n definieras som mängden av

alla n- dimensionella vektorer x som satisfierar ekvationen
 
Ax  0 .
Definition. (Bildrummet till en matris) Låt A vara en matris av typen m×n .
Bildrummet till A betecknas im( A) och definieras som
 
Im( A)  { Ax , x  R n } .
Eftersom
Sida 1 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
 a11 a12

  a21 a22
Ax 
 ...
...

am1 am 2
Nollrum. Bildrum.
 x1 
a1n   
 a11   a12   a1n 
 a1n 
 a12 
 a11 
x2
a   a  a 







a
... a2 n  
a
a
    x1  21   x2  22   xn  2 n   span(  21  ,  22  ,  2 n  )
        
  
  
  
... ...   
     
 
 
 
 
am1 
am 2 
... amn 
amn 
am1  am 2  amn 



 xn 
...
ser vi att bildrummet i det här fallet spänns upp av matrisens kolonvektorerna,
 a11   a12   a1n 
a   a  a 
21
22
2n
im(T ) = span(   ,   ,   ).
        
     
a m1  a m 2  a mn 
En bas och dimensionen av bildrummet kan bestämmas med hjälp av de kolonner som
svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
=================================================
Exempel 1.



a) Avgör om någon av vektorerna a  (0,2,2) , b  (1,2,1) eller c  (0,0,0) tillhör
nollrummet ker( T).
b) Bestäm nollrummet till avbildningen T från R3 till R2 då
T ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x1  2 x2  2 x3 )
c) Om alla vektorer i norrummet har sina startpunkter i origo då bildar alla ändpunkter en
mängd i R3 . Tolka denna mängd geometriskt ( en punkt, en linje , ett plan eller hela R3 )
Lösning:


a) Vi beräknar T (a )  (0  2  2,0  4  4)  (0,0)  0

 
Eftersom T (a )  0 , tillhör vektorn a nollrummet ker( T).



Den andra vektorn, b  (1,2,1) , tillhör INTE nollrummet ker( T) för T (b )  (4,7)  0


Vektorn, c  (0,0,0) , tillhör nollrummet ker( T) för T (c )  (0,0)  0 .


b) Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T ( x )  0 .
 
T
(
x
)0
Från
harvi ( x1  x2  x3 , x1  2 x2  2 x3 )  (0, 0)
som ger två skalära ekvationer:
 x1  x2  x3  0

 x1  2 x 2  2 x3  0
( vi använder Gausseliminationen)
Sida 2 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
 x1  x 2  x3  0

 x 2  x3  0
Vi har två ledande variabler x1 , x 2 och en fri variabel x3 som vi betecknar med t.
⇒
Lösningen x3  t , x 2  t , och x1 =0 skriver vi på vektorform
( x1 , x2 , x3 )  (0,t , t )  t (0,1, 1)
Därmed är ker (T) = { t (0,1, 1) } där t varierar fritt.
c) Om startpunkter ligger i origo då bildar alla ändpunkter { t (0,1, 1) } en linje i R3 , (som
går genom origo).
Svar: a) Se ovanstående lösning. b)
genom origo).
ker (T) = { t (0,1, 1) } c) En linje i R3 , (som går
Exempel 2. Vi betraktar en linjär avbildning T från R4 till R3 som definieras av
 x1 
 x1  x2  x3  x4 
x 
T (  2  )   x1  2 x2  2 x3  3 x4 
 x3 
 2 x1  3 x2  3 x3  4 x4 
 
x
 4
a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T)
b) Bestäm en bas till nollrummet
c) Bestäm nollrummets dimension.


Lösning: Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T ( x )  0 .
 x1  x 2  x3  x 4  0
 
Från T ( x )  0 harvi  x1  2 x 2  2 x3  3x 4   0 , som vi skriver som 3 skalära
2 x1  3x 2  3x3  4 x 4  0
ekvationer:
 x1  x 2  x3  x 4  0
 x1  x 2  x3  x 4  0
 x1  x 2  x3  x 4  0



 x1  2 x 2  2 x3  3 x 4  0   x 2  x3  2 x 4  0   x 2  x3  2 x 4  0
2 x  3 x  3 x  4 x  0
 x  x  2x  0

00
2
3
4
2
3
4
 1


Systemet har två ledande variabler x1 , x 2 och två fria variabler x3  s och x 4  t .
Systemets lösning x1  t , x 2   s  2t , x3  s , x 4  t .
För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform ( och separerar s- och t-delen :
 x1   t   0   t 
0 1 
 x   s  2t   s   2t 
   
 2  
  s  1  t  2
  
 x3   s   s   0 
1  0 
  
   

   
0 1 
 x4   t   0   t 
Sida 3 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
0 1 
 1  2
Avbildningens nollrum är ker(T)= ker(T)= { s    t   } .
1  0 
   
0 1 
0 1 
 1   2
Vi säger att nollrummet späns upp av två vektorer   ,   och alternativt betecknar
1  0 
   
0 1 
1 
0
 1
  2


,   )
ker(T)= span(
1
0 
 
 
0
1 
Vi ser att nollrummet är en mängd av alla linjära kombinationer som bildas med hjälp av två
0
1 
 1
 2
( uppenbart) linjärt oberoende vektorer   och   som därför utgör en bas till
1
 0 
 
 
0
1 
nollrummet.
Därmed är nollrummets dimension =antalet basvektorer (= antalet fria variabler)
0 1 
0
 1  2
 1




t
Svar: a) ker(T)= { s
} eller ( alternativt ) ker(T)= span(   ,
1  0 
1
   
 
0 1 
0
0
1 
 1
 2


b) En bas till nollrummet är
,  .
1
 0 
 
 
0
1 
c) dim(ker(T))=2.
Exempel 3. Vi betraktar en linjär avbildning T från R2 till R3 som har matrisen
1 2
A  1 0 ,
1 0


dvs T ( x )  Ax
Sida 4 av 15
=2
1 
  2
  )
0 
 
1 
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T)
b) Bestäm en bas till nollrummet
c) Bestäm nollrummets dimension.
d) Vilken mängd bildar ändpunkter till nollrummets vektorer om startpunkter ligger i origo?.
Lösning: Vi löser ekvationen
 
 
T ( x )  0 d v s Ax  0 eller
1 2
0 
1 0  x1   0

x   
1 0  2  0
Motsvarande ekvationssystem är
 x1  2 x 2  0

 x1  0
 x 0
1

som har lösning x1  0 , x 2  0 .
Systemet har två ledande variabler x1 , x 2 , ingen fri variabel och endast den triviala
lösningen x1  0 , x 2  0 som vi skriver på vektorform:
 x1  0
 x   0  .
 2  
0 
Svar: a) ker(T) = {   }
0 
b) Nollrummet som består bara av en nollvektor har ingen bas.

(enligt definitionen består basen av oberoende vektorer och därmed kan inte innehålla 0 )
c) dim(ker(T))=0. d) En punkt (origo)
Exempel 4. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen
1 2 0 1 1 
A
,
 2 4 0 2 2


dvs T ( x )  Ax
Bestäm
a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T)
b) en bas till nollrummet
c) nollrummets dimension.
d) matrisens rang.
Sida 5 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
 1
 1
1
2

 



e) om någon av vektorerna x1   0  , x 2   0  tillhör nollrummet ker( T).
 
 
0
0
 1
 1 
 
Lösning: Vi löser ekvationen Ax  0 eller
 x1 
x 
2
 1 2 0 1 1    0 
2 4 0 2 2  x3   0

x   
 4
 x5 
Motsvarande ekvationssystem är
 x1  2 x 2  0  x 4  x5  0
 x  2 x 2  0  x 4  x5  0
  1

00

2 x1  4 x 2  0  2 x 4  2 x5  0
Systemet har 1 ledande variabel x1 och 4 fria variabel.
Systemets lösning x1  2u  s  t , x 2  u , x3  v , x 4  s , x5  t .
För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform
( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) :
 x1   2u  s  t   2u  0  s   t 
x  
  u  0   0   0 
u
 2 
 
      
 x3   
   0   v    0    0 
v
  
 
      
s
 x4  
  0  0   s   0 
 x5  
  0  0  0   t 
t
 2 0  1  1
 1  0   0   0 
       
 u  0   v 1  s  0   t  0 
       
 0  0   1   0 
 0  0  0   1 
  2
0 
 1
 1
1
0 
0
0
 
 
 
 
Svar: a) ker(T) = span(  0  , 1 ,  0  ,  0  )
 
 
 
 
0
0 
1
0
 0 
0
 0 
 1 
Sida 6 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
  2
0 
 1
 1
1
0 
0
0
 
 
 
 
b) Vektorerna  0  , 1 ,  0  ,  0  är linjärt oberoende och spänner hela
 
 
 
 
0
0 
1
0
 0 
0
 0 
 1 
nollrummet. Därför bildar vektorerna en bas till ker(T).
c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 4 .
d) Matrisens rang = med antalet matrisens oberoende rader= antalet oberoende kolonner =
antalet ledande ettor i matrisens trappform= antalet ledande variabler i trappformen för
motsvarande ekvationssystem = 1.
 1
1
  1 2 0 1 1    0  
e) Ax1  
 0      0  2 4 0 2 2    0 
0
 1


Alltså x1 tillhör ker(T) . {Vi kan skriva kortare x1  ker(T) }
 1
2
   4 
1
2
0
1
1



A
x

För den andra vektorn gäller 2 
  0   8   0
2
4
0
2
2

   
0
 1 


Därmed x2 tillhör inte ker(T) . { Vi kan skriva x 2  ker(T)}.
BILDRUMMET ( Image i kursboken) som tillhör en linjäravbildning.
Om T definieras med en matris A av typ m×n då består bildrummet av alla vektorer


T ( x )  Ax
 x1 
 a11 a12 ... a1n   
 a11 
 a12 
 a1n 
 a11   a12   a1n 
x2 
a







a   a  a 

a 22 ... a 2 n 
a
a
a
   x1  21   x 2  22   x n  2 n   span (  21  ,  22  ,  2 n  )
  21
 ...
  
  
  
        
... ... ...   

 
 


 
  
  
a m1 a m 2 ... a mn   x 
a m1 
a m 2 
a mn 
a m1  a m 2  a mn 
 n
Alltså bildrummet ( som kallas även matrisens kolonnrum) i det här fallet spänns upp av
matrisens kolonvektorerna,
Sida 7 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
 a11   a12   a1n 
a   a  a 
21
22
2n
im(T ) = span(   ,   ,   ).
        
     
a m1  a m 2  a mn 
En bas och dimensionen av bildrummet kan bestämmas med hjälp av de kolonner som
svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
------------------------------------------------------------------------------------------------Exempel 5. Vi betraktar en linjär avbildning T med matrisen
1 1 1 
A= 1 2 2
1 3 3
a) Bestäm avbildningens bildrum im(T)
b) Bestäm en bas till bildrummet
c) Bestäm bildrummets dimension.
d) Bestäm matrisens rang.
 2
1 




e) Avgör om någon av vektorerna y1  3 , y 2   2 tillhör bildrummet im( T).
4
 1 
2



  
3
f) Bestäm alla vektorer x  R sådana att T ( x )  y1 , där y1  3 .
4
Lösning:
a) Bildrum im(T) spänns up av matrisens kolonnvektorer och därför
1 1 1
im(T)= span( 1 , 2 , 2 ) .
1 3 3
1
Alternativ beteckning: im(T)= { x 1 
1
1 
y 2  z
3
1 
2 : x, z och y är skalärer som varierar
 
3
fritt} .
1 1 1
b) För att välja en bas till span( 1 , 2 , 2 ) väljer vi (största antalet) linjärt oberoende
1 3 3
kolonnvektorer; de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
Sida 8 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1 1 1
1 2 2 ~


1 3 3
1 1 1 
0 1 1  ~


0 2 2
Nollrum. Bildrum.
1 1 1 
0 1 1 


0 0 0
Ledande ettor finns i första och andra kolonner och därför väljer vi matrisens första och andra
kolonn som bas till bildrummet (kolonnrummet).
den tredje kolonnvektor är beroende av de första två.
1 
1


Svar b) En bas bildas av kolonnvektorerna 1 , 2 .
3
1
Anmärkning: Eftersom tredje kolonvektor är en linjärkombination av första två har vi
1 1 
1 1 1






span( 1 , 2 , 2 )=span( 1 , 2 ),
1 3
1 3 3
för varje linjär kombination som inkluderar tredje vektor kan utryckas med hjälp av de första
två vektorerna. Vi förlorar ingen kombination om vi tar bort beroende vektorer bland de
som spänner upp ett underrum.
Svar c) Bildrummets dimension är 2 (= antalet bildrummets basvektorer= antalet ledande
ettor i matrisens trappform) .
d) Matrisens rang är 2 (= antalet oberoende kolonnvektorer= antalet oberoende radvektorer=
antalet = antalet ledande ettor i matrisens trappform ) .
2
  
e) För att avgöra om y1  3 tillhör im(T) undersöker vi om ekvationen
4
 
Ax  y1 är konsistent ( dvs om ekvationen har minst en lösning).
Från
1 1
1 2

1 3
 
Ax  y har vi
1  x1  2
2  x2   3 
3  x3  4
 x1  x2  x3  2 
 x1  x2  x3  2




 x1  2 x2  2 x3  3   x2  x3  1 
 x  3x  3x  4 


00
2
3
 1



Systemet har oändligt många lösningar x1  1 , x2  1  t x3  t .
 2
 
  
Vektorn y1  3 tillhör bildrummet im(T) eftersom systemet Ax  y1 är konsistent ( =
4

 


lösbar), dvs det finns x så att Ax  y1 ( eller T ( x )  y1 )
1 
 

Den andra vektorn y 2   2 tillhör inte bildrummet im(T) eftersom ekvationen Ax  y2
 1 
saknar lösning ( kontrollera själv).


 
Alla lösningar till ekvationen T ( x )  y1 dvs till ekvationen Ax  y1 , enligt e-delen, ges av
Sida 9 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
x1  1 , x2  1  t x3  t .
Vi kan skriva detta på vektorform
 x1   1 
 x   1  t  , där t är ett godtyckligt reellt tal.
 2 

 x3   t 
Svar:
1 1 
1 1 1






a) Im(T) = span( 1 , 2 , 2 )=span( 1 , 2 ),
1 3
1 3 3
1 1 
b) En bas är ( 1 , 2 ) .
1 3
c) dim(Im(T) =2
d) Rang(A) =2


e) y1 tillhör bildrummet im(T) . y2 tillhör inte bildrummet im(T).
 1 
f) 1  t  , där t är ett godtyckligt reellt tal.
 t 
Exempel 6. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen
1 2
A
2 4

dvs T ( x ) 
1 2
,
2 4

Ax
Bestäm
a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T)
b) en bas till nollrummet
c) nollrummets dimension.
d) avbildningens bildrum im(T)
e) en bas till bildrummet
f) bildrummets dimension.
g) matrisens rang.
Lösning:
 
a) Vi löser ekvationen Ax  0 eller
 x1 
 
1 2 1 2   x 2  0 
 2 4 2 4   x   0 

 3
 
 
 x4 
Motsvarande ekvationssystem är
Sida 10 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  0
 x  2 x 2  x3  2 x 4  0
  1

00

2 x1  4 x 2  2 x3  4 x 4  0
Systemet har 1 ledande variabel x1 och 3 fria variabel.
Systemets lösning x1  2v  s  2t , x 2  v , x3  s , x 4  t .
För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform
( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) :
 x1   2v  s  2t   2v  s  2t   2v   s   2t 
 2  1  2
x  








     

v
v
 2  
   v    0    0   v 1   s 0   t  0  

 x3  
  0   s   0 
 0  1  0 
 
s
s
  
 
 
   

     
t
t
  0  0  t 
0  0 1 
 
 x4  
 2  1  2
 1  0  0 
Svar: a) ker(T) = span(   ,   ,   )
 0  1  0 
     
 0  0  1 
 2  1  2
 1  0  0 
b) Vektorerna   ,   ,   , är linjärt oberoende och spänner hela nollrummet.
 0  1  0 
     
 0  0  1 
Därför bildar vektorerna en bas till ker(T).
c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 3
d) avbildningens bildrum im(T) späns upp av kolonnvektorer där oberoende svarar mot
ledande ettor.
1 
Därför im(T) = span(   )
 2
1 
e) en bas till bildrummet är  
 2
f) bildrummets dimension dim(Im(T) = 1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform) .
g) matrisens rang =1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform).
=========================================================
DIMENSIONSSATSEN
 
Om vi betraktar en matris A av typ m×n och motsvarande ekvationssystem Ax  0
 a11
a
 21
 ...

a m1
a12
a 22
...
am2
x 
... a1n   1 
x
0 
... a 2 n   2   
   ,
... ...     
0 

... a mn     
 x n 
Sida 11 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
efter att vi överför systemet till trappformen, ser vi att
( antalet ledande variabler) + ( antalet fria variabler)= ( antalet alla variabler)
dvs
dim( im(A)) + dim(ker(A)) = n
eller
rang(A) + dim(ker(A)) = n
======================================================
Exempel 7. Tentamen 20120109 Uppgift 6
Betrakta en linjär avbildning, T : R 2  R 2 , sådan att lösningsmängden till
 1 
T (x )   
 2
 x   t  1
ges av    
,
 y  3  t 
där t är en reell parameter.
a) Bestäm nollrummet Ker(T)
b) Bestäm bildrummet Im(T)
Lösning
Ett sätt att lösa uppgifter är att först bestämma avbildningens matris och därefter Ker(A) och
Im(A).
a b 
  x
Låt A  
vara den matris som hör till avbildningen T . Låt x    .

c d 
 y
 1 
 1 
Ekvationen T (x )    kan skrivas på formen Ax    eller
 2
 2
ax  by  1
(sys 1)
cx  dy  2
Vi ska först bestämma A med hjälp av given lösning:
 x   t  1
Enligt antagandet, är    
 en lösning för varje t  R . Vi kan därför välja några t y  3  t 
värden, substituera i sys1 och bestämma a, b, c och d .
 x   0  1 1
Om vi t ex väljer t= 0 får vi att    
    är en lösning till sys 1 och därför gäller (
 y  3  0 3
substituera x=1 och y=3 i sys 1):
a  3b  1
( sys 2)
c  3d  2
 x  1  1 2
Om vi väljer t= 1 får vi att    
    är en lösning till sys 1 och därför( substituera
 y  3  1 2
x=2 och y=2 i sys 1):
Sida 12 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
2a  2b  1
( sys 3)
2c  2 d  2
Från sys 2 och sys 3 beräknar vi a, b, c och d .
Vi kan t ex gruppera de ekvationer som innehåller a och b :
a  3b  1 och 2a  2b  1
och bestämma a  1 / 4 och b  1 / 4 .
På samma sätt, från c  3d  2 och 2c  2d  2 har vi c  1 / 2 och d  1 / 2 .
1 / 4 1 / 4
1 1 
Därmed blir A  
 1 / 4

.
1 / 2 1 / 2
 2 2
 1  1 
1 
Härav har vi omedelbart att Im(A)=Span(  ,   ) =Span(   ).
 2   2
2
För att bestämma Ker(A) löser vi ekvationen
 x y0 
 x  y  0
 1 1   x  0
 
 
Ax  0 eller 1 / 4 





2 x  2 y  0 
 00 
 2 2   y  0
En fri variabel y  s samt x   y   s .
 x   s 
 1
Därför       s   .
 y  s 
1
  1
1
  1
Alltså Ker(T)=Ker(A)= Span (   )
( Anmärkning: Span (   )=Span (   )
1
  1
1
Svar:
  1
1 
a) Ker(T)=Ker(A)= Span (   ),
b) Im(T)= Im(A)=Span(   ).
1
2
Exempel 8. Tentamen 2014-20-maj Uppgift 7 (alternativ lösning)
Bestäm alla linjära avbildningar T : R 3  R 3 som uppfyller följande två krav:
1
 0
a) Vektorerna   1 och 1 utgör en bas för nollrummet för T.
 
 
 0 
1
0
b) Bildrummet för T är linjen med riktningsvektor 0 .
 
1
Lösning:
Låt A vara tillhörande avbildningsmatris. Vi ska bestämma A med hjälp av givna två krav.
Bildrummet för T är lika im(A) =span(k1,k2,k3) där k1,k2 och k3är kolonner i A.
Sida 13 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nollrum. Bildrum.
0
Enligt antagande är bildrummet im(A) =span( 0 ). Därmed är varje kolonn i A en linjär
 
1
 0
0
kombination av basvektorn 0 dvs har formen t  0 för något t.
 
 
1
1
0
 0
 0
Låt k1   0  , k 2  0 och k 3  0 vara kolonnvektorer i A.
 
 
 
a 
b
c 
 0 0 0
Då är A   0 0 0 där minst en av a, b, c är skild från 0. ( Om alla a, b, c är 0 då är A en


a b c 
0

nollmatris och im(A) ={ 0 } som inte stämmer med vår avtagande att im(A) =span( 0 .)
 
1
1
  
Vi bestämmer a,b och c med hjälp av första villkoret dvs vi använder vektorerna v1   1
 
 0 
0
  
och v2  1 som ligger i nollrummet:
 
1
 0 0 0  1  0  0  0 
 


Från Av1  0 har vi  0 0 0   1  0   0  0  dvs a  b (ekv1)

   


a b c   0  0 a  b  0
 0 0 0 0 0  0  0 
 


Från Av2  0 har vi  0 0 0 1  0   0  0  dvs b  c (ekv2)

   


a b c  1 0 b  c  0
Vi kan välja c  s ( ett godtyckligt tal skilt från 0), då är a   s och b   s .
0 0
 0 0 0  0



0 0 och
Härav A  0 0 0  0

 

a b c    s  s s 
0 0  x  
0
0

 





T ( x)  0
0 0 y 
0

  

  s  s s   z    sx  sy  sz 
Vi kan skriva detta på även på följande form:
T ( x, y, z )  (0,0, sx  sy  sz )
Svar: T ( x, y, z )  (0,0, sx  sy  sz )
(där s är ett godtyckligt tal skilt från 0)
Sida 14 av 15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
0
 x 




,
0
eller T ( y ) 
  

 z    sx  sy  sz 
Nollrum. Bildrum.
s0.
Sida 15 av 15