Kardinalitet

Infinities.nb
Kardinalitet
Att de fyra mängderna har lika kardinalitet följer av figuren nedanför, där
bijektioner mellan mängderna presenteras. Bijektionerna ifråga bygger på
att var och en av de fyra mängderna har ett minsta element, ett näst
minsta element, osv….
80, 1<* ö !
0
# 0
1
# 1
00
# 2
01
# 3
10
# 4
11
# 5
000
# 6
001
# 7
ª
Georg Cantor menade i en serie publikationer mellan 1874 och 1897 att
oändliga mängder skulle hanteras på samma sätt som ändliga mängder
vad gäller kvantifiering.
M.a.o. att man för två godtyckliga mängder skulle hävda att de har lika
många element, om det går att para en ena mängdens element med den
andra så att inget element blir över i någondera mängden, dvs. om det
finns en bijektion från den ena mängden till den andra.
Följdaktligen skulle man – enligt Cantor – också hävda att en mängd
har flera element än en annan, om varje försök att para ihop den
förstnämnda mängdens element med den sistnämndas, resulterar i att man
får element över i den förstnämnda.
För ändliga mängder var allt detta fullständigt okontroversiellt. Men
för oändliga mängder gick meningarna isär (på den tiden) beträffande det
värdefulla i Cantors idé. Idag är Cantors idé vitt accepterad inom den
matematiska vetenskapen.
DEFINITION
Två mängder har lika kardinalitet om det finns en bijektion från
den ena mängden till den andra.
EXEMPEL 1 Fyra oändliga mängder med lika kardinalitet
80, 1<* = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, …} de ändliga bitsträngarna
! = {0, 1, 2, 3, …} de naturliga talen
"+ = {1, 2, 3, …} de positiva heltalen
# = {2, 3, 5, 7, …} primtalen
! ö "+
0 # 1
1 # 2
2 # 3
3 # 4
4 # 5
5 # 6
6 # 7
7 # 8
ª
"+ ö #
1 # 2
2 # 3
3 # 5
4 # 7
5 # 11
6 # 13
7 # 17
8 # 19
ª
Notera att varje mängd som har ett minsta element, ett näst minsta
element, osv …, kan kopplas bijektivt till ! på motsvarande sätt som de
tre mängderna ovanför. Det följer t.ex. att varje oändlig delmängd av !
har samma kardinalitet som !.
NOTATION
För varje ändlig mängd 9a1 , a2 , a3 , …, an = utgör antalet element,
dvs. n, ett mått på kardinaliteten. För den oändliga mängden !
och alla andra oändliga mängder med lika kardinalitet som !
används krumeluren ¡0 (uttalas alef-noll) som beteckning på
kardinaliteten.
För en godtycklig mängd A betecknas kardinaliteten med †A§.
T.ex. är †8100, p, Â<§ = 3 och †80, 1<* § = †!§ =§ #§ = ¡0 .
Uppräknelig respektive överuppräknelig
Mängder med kardinaliteten ¡0 sägs vara uppräkneliga eller numrerbara,
och mängder av högre kardinalitet sägs vara överuppräkneliga.
Mängden B¶ av oändligt långa bitsträngar är ett exempel på en
överuppräknelig mängd. För B¶ gäller nämligen att varje försök att para
ihop B¶ :s element med !:s dito, resulterar i att man får någon oändlig
bitsträng över, dvs. att det inte finns någon funktion från ! till B¶ som är
surjektiv. Cantor gav två olika bevis för detta, det första 1874 och det
2
3
Mängden B¶ av oändligt långa bitsträngar är ett exempel på en
Infinities.nb
överuppräknelig
mängd. För B¶ gäller nämligen att varje försök att para
ihop B¶ :s element med !:s dito, resulterar i att man får någon oändlig
bitsträng över, dvs. att det inte finns någon funktion från ! till B¶ som är
surjektiv. Cantor gav två olika bevis för detta, det första 1874 och det
andra 1891. Det senare som är det mest intressanta går under namnet
Cantors diagonalbevis. Varje matematikstuderande på högskolenivå bör
vara förtrogen med detta underbara bevis. Innan vi presenterar det, ska vi
titta på en geometrisk illustration av mängden B¶ .
B• och oändliga vägar i ett binärt träd
Varje oändlig bitsträng b0 b1 b2 … har en geometrisk tolkning såsom en
oändlig väg från roten och nedåt i ett fullt oändligt binärt träd som i
figuren nedanför. Varje bit bn motsvaras där av en vägstump som går till
vänster om bn = 0 och till höger om bn = 1. T.ex. representerar den
markerade vägen i figuren den oändliga bitsträngen 101010….
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
Notera att f omöjligen kan returnera b0,0 b1,1 b2,2 b3,3 …, där
0 om bn,n = 1
(¤)
bn,n = ;
1 om bn,n = 0
Ty av (¤) följer för varje n, att bn,n ! bn,n (eller hur!) och därmed för
varje n, att f HnL = bn,0 bn,1 … bn,n … ! b0,0 b1,1 … bn,n …
Booleska heltalsfunktioner
En funktion vars värdemängd är 80, 1< kallas för Boolesk. Man kan
konstatera att det finns en bijektion mellan de oändliga bitsträngar och de
Booleska funktionerna på !. Bijektionen ifråga avbildar
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª
f H0L = b0,0 b0,1 b0,2 b0,3 …
f H1L = b1,0 b1,1 b1,2 b1,3 …
f H2L = b2,0 b2,1 b2,2 b2,3 …
n
0 1 2 …
f HnL b0 b1 b2 …
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
jHnL 1 0 1 0 1 0 1 0 1 …
pHnL 0 0 1 1 0 1 0 1 0 …
SATS Mängden B¶ av oändliga bitsträngar är överuppräknelig.
Dvs.
på
T.ex. kommer 101010101 … och 001101010 … att avbildas på de
Booleska funktioner (j och p nedanför) som för varje naturligt tal avgör om
det är jämnt respektive om det är ett primtal.
Cantors diagonalbevis
BEVIS Vi visar att ingen funktion från ! till B¶ är en surjektion. Dvs.
att det för varje funktion från ! till B¶ finns något element i B¶ som
funktionen ifråga inte kan returnera. Antag därför att f är en funktion
vilken som helst från ! till B¶ . Då är f av typen
f HnL = bn,0 bn,1 bn,2 …, där varje bn,k œ 80, 1<.
4
f H3L = b3,0 b3,1 b3,2 b3,3 …
ª
ª ª ª ª
b0 b1 b2 …
ÿ
Infinities.nb
f H1L = b1,0 b1,1 b1,2 b1,3 …
f H2L = b2,0 b2,1 b2,2 b2,3 …
ÿ
ÿ
ÿ
vilken som helst från ! till B¶ . Då är f av typen
f HnL = bn,0 bn,1 bn,2 …, där varje bn,k œ 80, 1<.
Dvs.
f H0L = b0,0 b0,1 b0,2 b0,3 …
Eftersom mängden av oändliga bitsträngar är överuppräknelig, följer att
detsamma gäller för mängden av Booleska funktioner på !.
Reella tal
Betrakta nu mängden av reella tal i intervallet H0, 1L. Med Cantors diagonalbevis skall vi bevisa att denna mängd av reella tal är överuppräknelig. Men
först några ord om decimalutvecklingens brist på entydighet …
f H3L = .d3,0 d3,1 d3,2 d3,3 …
ª
ª
5
Då kan f omöjligen returnera .d0,0 d1,1 d2,2 d3,3 …
Infinities.nb
Decimalutvecklingars brist på entydighet
där dn,n definieras av
Beteckningen .d0 d1 d2 …, där varje dn œ 80, 1, …, 9< är en kortnotation
för det reella talet
(¤)
d0
101
+
d1
d
+ 23 + …
102
10
dn,n = ;
T.e.x. representerar .1 och .0999 … samma reella tal.
Detta kan t.ex. visas på följande sätt. Låt x = .0999. Då är 10 x = .999 …, och
100 x = 9.999 …. Efter subtraktion fås 90 x = 9. Det följer att x = 9 = 1 = .1.
90
10
Allmänt gäller att en decimalutveckling med en oändlig svans av
avslutande 9:or representerar samma tal som den decimalutveckling man
får om man byter varje 9:a i svansen mot en 0:a och samtidigt höjer (med
en enhet) den siffra som föregår svansen. T.ex. så att .325999 … ersätts
med .326000 …. Vidare är detta den enda förekommande typen av
flertydighet. Genom att presentera decimalutvecklingar utan oändliga
svansar av 9:or får därför varje reellt tal en entydig decimalutveckling. I
beviset nedanför antar vi att decimalutvecklingarna presenteras på
nämnda sätt.
SATS Mängden av reella tal i intervallet H0, 1L är överuppräknelig.
0 om dn,n ! 0
1 om bn,n = 0
Anmärkning 1. Den entydiga decimalutvecklingen är väsentlig för hållbarheten i
bevisets sista rad. Ty om t.ex. f H0L = .0999 …och diagonalens alla siffror (de röda) är
nollskilda förutom d0,0 , så följer att
. d0,0 d1,1 d2,2 d3,3 … = .1000 … = 0.1,
och då blir ju bevisets sista rad falsk för n = 0, eftersom f H0L = .0999 … = 0.1.
EXEMPEL 2 Visa att mängden $ av reella tal har samma kardinalitet
som det reella intervallet H0, 1L genom att konstruera en bijektion mellan de
två mängderna.
LÖSNING f HxL = tanJp Jx - 1 NN är en bijektion från H0, 1L till $.
2
Surjektiviteten: Då x œ H0, 1L gäller att p Jx - 1 N œ J- p , p N, och det får
2
2
2
betraktas som välkänt att tanHtL avbildar intervallet J- p , p N på hela $.
2 2
f HxL
tanHtL
BEVIS Vi visar att det inte finns någon surjektion från ! till intervallet
H0, 1L. Antag därför att f är en funktion vilken som helst från ! till H0, 1L.
Då är
f HnL = .dn,0 dn,1 dn,2 dn,3 … , där varje dn,k œ 80, 1, …, 9<.
f H0L = .d0,0 d0,1 d0,2 d0,3 …
-p
2
p
2
t
0
1
x
f H1L = .d1,0 d1,1 d1,2 d1,3 …
f H2L = .d2,0 d2,1 d2,2 d2,3 …
f H3L = .d3,0 d3,1 d3,2 d3,3 …
ª
ª
Då kan f omöjligen returnera .d0,0 d1,1 d2,2 d3,3 …
där dn,n definieras av
0 om dn,n ! 0
(¤)
dn,n = ;
1 om bn,n = 0
6
Ty av (¤) följer att för varje n är dn,n ! dn,n och därmed
f HnL = .dn,0 dn,1 … dn,n … ! . d0,0 d1,1 … dn,n …
Emellertid finns det en gnutta flertydighet i denna notation.
Dvs.
Infinities.nb
Injektiviteten följer av att f är växande på intervallet H-0, 1L. Det senare
p
är en konsekvens av att f £ HxL =
> 0 på nämnda intervall.
1
cos2 Jp Jx- 2 NN
7
Infinities.nb
Infinities.nb
Rationella tal
De rationella talen %H0,1L i intervallet H0, 1L är varken ordnade så att det
finns ett minsta tal, ett näst minsta tal, osv.…, eller ett största, näst
största, osv. ….
Ty för varje tal m ê n i %H0,1L finns det både ett mindre, t.ex. m ê Hn + 1L,
och ett större dito, t.ex. m ê Hn - 1L.
Och för varje par x1 = m1 ê n1 och x2 = m2 ê n2 , finns det tal i %H0,1L
mellan de två, t.ex. x1 ê 2 + x2 ê 2 som ligger mitt emellan.
Ändå går det (se satsen nedanför) att bijektivt avbilda talen 0, 1, 2, 3, …
på %H0,1L , vilket betyder att det går att "ordna" %H0,1L på något annat sätt
än i storleksordning.
SATS Mängden av rationella tal i intervallet H0, 1L är uppräknelig.
BEVIS Vi visar att det finns en bijektion från ! till %H0,1L . Elementen i
%H0,1L representeras av bråktal m ê n, där m, n œ ! och m § n. Denna
bråktalsrepresentation är entydig om bråken är förkortade så långt det
går, dvs. om SGDHm, nL = 1. Låt oss nu "räkna upp" nämnda entydigt
representerade bråktal på så sätt att vi tar bråktal med mindre nämnare
före dem med större nämnare. Och vad gäller två bråktal med samma
nämnare, tar vi tal som har den minsta täljaren först. Om vi samtidigt
räknar upp !:s element i ordning från mindre till större, så har vi en
bijektion j av det efterfrågade slaget.
De elva första elementen i ovanstående bijektion presenteras i tabellen
nedanför. Och de tusen första är utritade i grafen.
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
jHnL 1 1 2
2
3
3
1
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
1
6
5
6
…
8