Dagens program

Dagens program
• Dimension
• För många är beroende
• För få spänner inte upp
• Rätt antal oberoende är bas
• Banta ned och fylla ut
• Banta med SOLE (satsen om löjliga element)
• Fyll ut med Plus-satsen
• SORAE visar när vi är klara
• Basbyte, koordinatsambander
5.4.2. Basbegreppet
Definition 5.4.8. Låt 𝕍 vara ett ändligt genererat vektorrum. En ordnad uppsättning
vektorer 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 ∈ 𝕍 kallas en bas i 𝕍 om
(a) 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 = 𝕍
(b) 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 är linjärt oberoende
Obs! Definitionen är i princip identisk med definitionen av bas i planet/rummet. Däremot
ersatt ”entydighet” av ”linjärt beroende”.
Exempel:
• Två linjärt oberoende vektorer i planet
• Polynomen 1, 𝑥, 𝑥 2 i vektorrummet ℙ2
• Polynomen 1, 1 + 𝑥, 1 + 𝑥 + 𝑥 2 i ℙ2
•
1
Vektorerna 𝐯1 = 𝐞 −1
0
1
och 𝐯2 = 𝐞 0 i underrummet
−1
𝕍 = {𝐱 ∈ ℝ3 : 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0}
Koordinater
Sats 5.4.9. Låt 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 ∈ 𝕍 vara en bas i 𝕍. Till varje vektor 𝐮 ∈ 𝕍 finns
entydigt bestämda tal 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 så att
𝐮 = 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐯𝑛
•
Entydigheten ger följande definition meningsfull
Definition 5.4.10. Låt 𝐯 = (𝐯1 𝐯2 … 𝐯𝑛 ) så att
𝑥1
𝑥2
𝕍 ∋ 𝐮 = 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐯𝑛 = 𝐯 ⋮
𝑥𝑛
= 𝐯𝑋.
Talen 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 kallas koordinaterna för vektorn 𝐮 i basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 och 𝑛 ×
1 matrisen 𝑋 kallas 𝐮:s koordinatmatris i basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 .
•
Vi kommer att utnyttja beteckningen 𝐯 som förkortning för basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 .
Exempel. Bestäm en bas i 𝕍 = {𝐱 ∈ ℝ4 : 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 = 0} och koordinater i denna bas för punkten (1,0,1,1).
Lösning. Löser ut 𝑥1 och parametriserar på ett vanligt sätt:
𝑥1
𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡
1
−2
3
𝑥2
𝑟
1
0
0
𝕍∋𝐱=𝐞 𝑥 =𝐞
= 𝑟𝐞
+ 𝑠𝐞
+ 𝑡𝐞
= 𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3
𝑠
0
1
0
3
𝑥4
𝑡
0
0
1
D v s 𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 ]. Att visa att 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är linjärt beroende ställer vi upp beroendeekvationen:
1
−2
1
0
𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3 = 𝑟𝐞
+ 𝑠𝐞
+ 𝑡𝐞
0
1
0
0
3
0
0
1
𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡
𝑟
=𝐞
𝑠
𝑡
0
0
=𝐞
0
0
⇔ 𝑟=𝑠=𝑡=0
D v s 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är linjärt beroende. Följaktligen är 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är en bas för 𝕍.
•
Bestämmer koordinaterna för 𝐱 = 1,0,1,1 (varför 𝐱 ∈ 𝕍 ?):
𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡
𝑟
𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3 = 𝐞
𝑠
𝑡
Dvs
1
0
=𝐞
1
1
0
𝐱=𝐯 1
1
⇔ 𝑟 = 0,
𝑠 = 1,
𝑡=1
Dimension
Sats 5.4.14. (Satsen om för många element)
Låt 𝕍 vara ett vektorrum som har en bas med 𝑛 stycken vektorer. Om 𝑀 ⊂ 𝕍
innehåller fler än 𝑛 vektorer så är 𝑀 är linjärt beroende.
Bevisidé: tänk på ett plan. Om det finns fler än två vektorer så är det någon som inte
behövs.
Korollarium 5.4.15.
Om 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 och 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑚 är baser i vektorrummet 𝕍 så är 𝑛 = 𝑚, d v s alla
baser i 𝕍 består av lika många vektorer.
Bevis. Enligt satsen om för många element gäller det både 𝑛 ≤ 𝑚 och 𝑚 ≤ 𝑛, alltså
𝑛 = 𝑚.
Definition 5.4.16. Om ett vektorrumm 𝕍 har en bas bestående av 𝑛 stycken element
säges 𝕍 ha dimensionen 𝑛 och vi skriver
dim 𝕍 = 𝑛
Satsen om rätt antal element
Sats 5.4.18. (SORAE)
Låt 𝕍 vara ett vektorrum och antag att dim 𝕍 = 𝑛 samt att 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 ⊂ 𝕍. Då
är följande påståenden ekvivalenta:
a) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är linjärt oberoende,
b) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 = 𝕍
c) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är en bas i 𝕍
Bevis. Låt 𝐯 vara en bas i 𝕍 och 𝐴 vara koefficientmatrisen (𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝑛 ) där
kolonnerna 𝑋𝑖 fås ut
𝐮𝑖 = 𝐯𝑋𝑖 ,
𝑖 = 1,2, … 𝑛
•
𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är linjärt oberoende ⟺
⟺ 𝑦1 𝐮1 + 𝑦2 𝐮2 + … + 𝑦𝑛 𝐮𝑛 = 𝟎 har endast den triviala lösningen
⟺ matrisekvationen 𝐴𝑌 = 0 har endast den triviala lösningen
⟺ matrisekvationen 𝐴𝑌 = 𝑍 har entydig lösning för alla kolonnmatriser 𝑍
⟺ 𝑦1 𝐮1 + 𝑦2 𝐮2 + … + 𝑦𝑛 𝐮𝑛 = 𝒛 har entydig lösning för alla vektorer 𝒛
⟺ 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 = 𝕍
•
a) tillsammans med b) är ekvivalent till att 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är en bas i 𝕍
Plus-satsen
Sats 5.4.20. Plus-satsen
Låt 𝕍 vara ett vektorrum och 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 , 𝐯𝑘+1 ∈ 𝕍. Antag att
• {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 } är linjärt oberoende
• 𝐯𝑘+1 ∉ [𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 ]
Då gäller att systemet {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 , 𝐯𝑘+1 } är linjärt oberoende
Bevis. Beroendeekvationen:
𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝐯𝑘 + 𝜆𝑘+1 𝐯𝑘+1 = 0
• Om 𝜆𝑘+1 ≠ 0 så är
𝜆1
𝜆2
𝜆𝑘
𝐯𝑘+1 = −
𝐯1 −
𝐯2 − ⋯ −
𝐯 ⟹ 𝐯𝑘+1 ∈ [𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 ]
𝜆𝑘+1
𝜆𝑘+1
𝜆𝑘+1 𝑘
vilket är motsägelse.
• Alltså 𝜆𝑘+1 = 0 och följaktligen
𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝐯𝑘 = 0
Men vektorerna 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 är linjärt oberoende medföljer det att
𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑘 = 0
v.s.b.
Direkt summa
Unionen av två mängder: 𝑀1 ∪ 𝑀2 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑀1 eller 𝑥 ∈ 𝑀2
Snittet av två mängder: 𝑀1 ∩ 𝑀2 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑀1 och 𝑥 ∈ 𝑀2 }
Observera unionen av två underrum är i allmänhet inte ett underrum.
Däremot snittet av två underrum är aldrig tomt och är ett underrum.
(Tänk på två plan i rummet)
Definition 5.4.23. Låt 𝕌1 och 𝕌2 vara underrum av ett vektorrum 𝕍. Om 𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎}
så definierar vi direkta summan av 𝕌1 och 𝕌2 , 𝕌1 ⊕ 𝕌2 som
𝕌1 ⊕ 𝕌2 = 𝐮1 + 𝐮2 : 𝐮1 ∈ 𝕌1 , 𝐮2 ∈ 𝕌2
Sats 5.4.24. Låt 𝕌1 och 𝕌2 vara underrum av ett vektorrum 𝕍 sådana att
𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎}.
Då 𝕌1 ⊕ 𝕌2 är ett underrum av 𝕍.
Direkt summa
Sats 5.4.24. (Multi-Plus-Satsen )
Låt 𝕌1 , dim 𝕌1 = 𝑚 och 𝕌2 , dim 𝕌2 = 𝑛 vara underrum av ett vektorrum 𝕍
sådana att 𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎}. Då är
dim 𝕌1 ⊕ 𝕌2 = 𝑚 + 𝑛
Vidare, om 𝐞𝟏 , 𝐞𝟐 , … , 𝐞𝐦 är en bas i 𝕌1 och 𝐟𝟏 , 𝐟𝟐 , … , 𝐟𝐧 är en bas i 𝕌2 så är
𝐞𝟏 , 𝐞𝟐 , … , 𝐞𝐦 ∪ {𝐟𝟏 , 𝐟𝟐 , … , 𝐟𝐧 }
är en bas i 𝕌1 ⊕ 𝕌2 .
Exempel. Betrakta underrummet
1
1
1
2
−1
0
−2
−1
𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , 𝐯4 ] = 𝐞
,𝐞
,𝐞
,𝐞
−1
1
3
0
−1
0
−2
−1
a)
b)
c)
Bestäm en bas i 𝕍
Beskriv de 𝐮 ∈ ℝ4 sådana att 𝐮 ∉ 𝕍
Fyll ut basen i 𝕍 till en bas i ℝ4 .
beroendeekvationen
Lösning. Studerar om vektorerna är linjärt oberoende och dess linjärt hölje:
𝑥1
𝑥1
1
1
1
2 0 𝑥1
1 1
1
2 0
1 1 1 20
𝑥2 + 𝑥1
−1 0 −2 −1 0 𝑥2
0 1 −1 1 0 𝑥2 + 𝑥1
0 1 −1 1 0
∼
∼
1 −1 3
0 0 𝑥3
0 −2 2 −2 0 𝑥3 − 𝑥1
0 0 0 0 0 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3
−𝑥2 + 𝑥4
−1 0 −2 −1 0 𝑥4
0 1 −1 1 0 𝑥4 + 𝑥1
0 0 0 00
a) Beroendeekvationen: 𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + 𝜆𝟑 𝐯𝟑 + 𝜆4 𝐯4 = 𝟎 har lösningen
𝜆1
−2
−1
𝜆2
−2𝐯1 + 1𝐯2 + 1𝐯3
=0
𝐯3 = 2𝐯1 − 𝐯2
1
−1
=𝑠
+𝑡
⇒
⇔
𝐯4 = 𝐯1 +𝐯2
−1𝐯1 − 1𝐯2
+ 1𝐯4 = 0
𝜆3
1
0
𝜆4
0
1
D v s 𝐯3 och 𝐯4 kan utses till löjliga element. Enligt SOLE är 𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 ] och matrisen ovan visar att 𝐯1 , 𝐯2 är linjärt
oberoende. Följaktligen är 𝐯1 , 𝐯2 en bas i 𝕍 och dim 𝕍 = 2.
b) Om 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≠ 0 eller −𝑥2 + 𝑥4 ≠ 0
c) Väljer någon 𝐮 så att 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≠ 0 men −𝑥2 + 𝑥4 = 0, t.ex. 𝐮 = 0,1,0,1 ⇒ 𝐮 ∉ 𝕍. Enligt Plus-satsen är
{𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮} linjärt oberoende och följaktligen är dim[𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] = 3.
Observera att alla vektorer som ligger i underrummet [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] satisfierar ekvationen −𝑥2 + 𝑥4 = 0
Nu väljer vi 𝐰 = (0,0,0,1) som bryter mot villkoret −𝑥2 + 𝑥4 = 0, d v s 𝐰 ∉ [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] och enligt Plus-satsen är
𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮, 𝐰 en bas i ℝ4 .
Basbyte
Mål: Hitta matrissamband mellan basvektorerna i två olika baser.
Använda detta till att hitta samband mellan koordinatmatriserna för en vektor
med avseende på dessa baser.
v=2f1+f2
v=5e1+4e2=2f1+f2
f2
v
v=5e1+4e2
4e2
f2
2f1
f1
e2
e1
5e1
Basbyte
•
•
•
•
Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 … 𝐞𝑛 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 … 𝐟𝑛 ) vara två baser i 𝕍
Uttrycker elementen av den nya basen i gamla basen:
𝑇𝑖1
𝑇
𝐟𝐢 = 𝑇𝑖1 𝐞1 + 𝑇𝑖2 𝐞2 + ⋯ + 𝑇𝑖𝑛 𝐞𝑛 = 𝐞 𝑖2
⋮
𝑇𝑖𝑛
Bilder matrisen 𝑇 som består av 𝑇:s kolonner ovan, d v s i T:s kolonner står nya
basen uttryckt i gamla
𝑇11 …𝑇𝑖1 …𝑇𝑛1
𝑇12 …𝑇𝑖2 …𝑇𝑛2
𝑇=
⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮
𝑇1𝑛 …𝑇𝑖𝑛 …𝑇𝑛𝑛
Kom ihåg bassambandet:
𝐟=𝐞⋅𝑇
Koordinatsambandet
Sats 5.6.1.
Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 … 𝐞𝑛 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 … 𝐟𝑛 ) vara två baser i ett vektorrum 𝕍 och
𝐯 = 𝐞𝑋𝒆 = 𝐟𝑋𝐟
Då finns en 𝑛 × 𝑛-matris 𝑇 sådan att
a)
𝐟 = 𝐞 ⋅ 𝑇 där 𝑇:s första kolonn utgörs av koordinaterna för 𝐟1 i basen 𝐞,
andra kolonn utgörs av koordinaterna för 𝐟2 i basen 𝐞 , etc
b) T är inverterbar
c)
𝑋𝒆 = 𝑇𝑋𝐟 (Koordinatsambandet)
Observera att koordinatsambandet går ”andra hållet”
Gamla = Nya ⋅ 𝑇
⇔
Nya = Gamla ⋅ 𝑇 −1
Exempel. (5.5.4) Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 𝐞3 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 𝐟3 ) vara baser i ℝ3 för vilka gäller
𝐟1 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐
𝐟𝟐 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 + 𝐞𝟑
𝐟𝟑 = 2𝐞𝟏 + 2𝐞𝟐 + 𝐞𝟑
Bestäm koordinaterna för 𝐮 = 4𝐞𝟏 − 5𝐞𝟐 i basen 𝐟.
Lösning.
2
𝐟1 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 = 𝐞 1 etc
0
Framställer transformationsmatrisen:
𝐟 = 𝐞𝑇,
Följaktligen är 𝐞 = 𝐟𝑇 −1 och
Räknar
𝑇
Alltså
−1
4
2 2
−5 ∼ 1 1
0
0 1
2 2 2
där 𝑇 = 1 1 2
0 1 1
4
4
−1
𝐮 = 4𝐞𝟏 − 5𝐞𝟐 = 𝐞 −5 = 𝐟𝑇
−5
0
0
2 4
1
2 −5 ∼ 1
1 0
0
1 1 2
1 1 1 2
1 1 1 2
1 0 0 2
1 2 −5 ∼ 0 0 1 −7 ∼ 0 1 1 0 ∼ 0 1 0 7
1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 −7
0 0 1 −7
4
2
𝐮 = 𝐞 −5 = 𝐟 7
0
−7
Exempel. (5.6.2) Betrakta en ogenomskinlig tetraeder med ett hörn i origo och de andra tre i punkterna (1,1,0),
(1,0,1) och (1,1,1). Avgör vilka sidor som är synliga från punkten (3,1, −2)
Lösning. Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 𝐞3 ) och låt 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 𝐟3 ) vara en bas bestående av kantvektorer:
𝐟1 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟐
𝐟𝟐 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟑
𝐟𝟑 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 + 𝐞𝟑
Framställer transformationsmatrisen:
1 1 1
𝐟 = 𝐞𝑇,
där 𝑇 = 1 0 1
0 1 1
Origo har koordinaterna 0,0,0 i den nya basen. Övriga hörn får nya koordinater:
1
0
0
𝐟1 = 𝐟 0 ,
𝐟2 = 𝐟 1 ,
𝐟3 = 𝐟 0
0
0
1
Beräknar 𝑇 −1
1
0 −1
= 1 −1 0 , alltså de nya koordinaterna för observationspunkten är
−1 1
1
3
3
5
−1
−1
𝐞 1 = eftersom 𝐞 = 𝐟𝑇
= 𝐟𝑇
1 =𝐟 2
−2
−2
−4
𝐟3
𝐟2
𝐟1
Det är bara [𝐟1 𝐟2 𝐟3 ]-sida som är synlig från observationspukten (eftersom 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 5 + 2 − 4 = 3 > 1).