Geometriupplevelse och skolgeometri—1

Geometriupplevelse
och skolgeometri—1
Den grekiska matematiken, främst geometrin, har givit starka
impulser till utveckling av ett kreativt tänkande och av förmågan
av att dra logiska slutsatser, säger Bengt Ulin, Bromma. Han
kommer att utveckla detta i två artiklar i Nämnaren. Den första
kommer här.
Det är förbluffande vilka glansprestationer i geometri man kan träffa på i
forna kulturer. Fornegyptierna byggde de enorma pyramiderna. I Keopspyramidens kungakammare sägs stenblocken vara så tätt sammanfogade
att turisten inte kan sticka in ett pappersark mellan dem. Papyrus Moskva
omvittnar att egyptierna lyckades finna den rätta volymformeln för en så
komplicerad kropp som en stympad
kvadratisk pyramid, nämligen
där a och b är ändkvadraternas kantlängder och h är höjden, dvs avståndet mellan ändkvadraterna. [1]
Omkring 530 f Kr byggde Eupalinos en tunnel genom berget Kastro på
ön Samos, ca 1 km lång. Det märkliga med detta tunnelbygge är att tunneln grävdes ut från båda ändarna,
att arbetslagen med ett imponerande
litet fel möttes på halva vägen. [2]
Hur kunde grekerna så skickligt följa
en och samma linje från två håll?
Vi skulle kunna ta del av flera
exempel på tillämpad geometri i forna
kulturer. Men viktigare än tillämpningarna är att den grekiska matematiken, främst geometrin, givit starka
impulser till utveckling av ett kreativt
tänkande och av förmågan att dra
logiska slutsatser.
I Arkimedes matematik — för att
ta ett berömt exempel — möter vi en
närmast otrolig idérikedom, förenad
med stringent bevisföring. Vid härledningen av sfärens volym leder intuitionen Arkimedes till en mekanisk
jämviktsmodell, med vars hjälp han
finner formeln för volymen. Men
denna heuristiska väg duger ej som
bevis. För att säkerställa den funna
formeln måste Arkimedes låta logiken gå en helt annan väg. Vi har här
ett typexempel på att kreativitet, fantasi, intuition är en sida av matematisk aktivitet, logisk slutledning en
annan, en fas som måste sättas in
efter det att inspirationen visat var
tankespåret skall börja. [3]
Dessa två faser, att upptäcka och
att bevisa, spelar eller bör spela en
viktig roll även i skolmatematiken.
Geometrin erbjuder en övningsväg
med vars hjälp vi kan leva oss in i och
förstå former av alla de slag, i naturen och i tekniska sammanhang. Med
geometri kan vi också skapa nya fungerande realiteter i natur och teknik.
Geometrin är en vägvisare i formernas outtömliga värld. Universum "är
Bilden visar ett textutdrag ur Papyrus
Moskva. Fornegyptierna fann den rätta formeln för den stympade pyramiden:
där a och b är ändkvadraternas sidor och h är
höjden.
(Texten är överförd till hieroglyfer.)
Eupalinos var en forngrekisk ingenjör, som på
uppdrag av tyrannen Polykrates byggde en
1 km lång tunnel på Samos. Tunnelns genomskärning är ungefär en kvadrat med 2 m sida.
Tunneln skulle förse Samos huvudort med
vatten, speciellt vid en belägring. Felet i sidled
mitt inne i berget var knappt 10 m, i höjdled
endast 3 m!
Bilden visar hur Arkimedes intuitivt fann formeln för sfärens volym. Tillsammans med en
rät cirkulär kon befinner sig sfären i jämvikt
med en cirkulär cylinder. En ekvation över
vridningsmomenten leder till den för sfärens
volym riktiga formeln
skrivet på matematiskt språk och dess
bokstäver är trianglar, cirklar och
andra geometriska figurer", hävdade
Galilei i sitt arbete "Guldvågen" ("Il
saggiatore"). Med geometri kan vi
undersöka former i små ting som en
cell eller en snökristall och hos stora
ting som himlakroppar och spiralnebulosor.
Att öva geometri innebär också en
själslig utveckling. Inre krafter kontureras, medan vi studerar former och
deras förvandlingar.
När barnen börjar skolan har de
med sig en hel del geometriska erfarenheter. De har gjort rön genom
iakttagelser och allehanda rörelser,
inte minst i lekar. De har tränat sitt
jämviktssinne i en mångfald av situationer.
God pedagogik vill möta barnen/
eleverna där de befinner sig i sin utveckling, vill möta deras behov och
förutsättningar. I de lägsta årskurserna är behovet av rörelse stort. Vid 12årsåldern väcks en ny förmåga till
begreppsbildning. Man kan smått
börja öva kausalitet i tänkandet, men
främst i konkret-åskådliga sammanhang. I högre klasser utvecklas rörligheten i tänkandet och förmågan till
abstraktion avsevärt.
De följande metodavsnitten skall
visa hur geometrin kan anpassas till
dessa tre utvecklingsfaser och — förhoppningsvis, inte minst genom sin
åskådlighet — ge eleverna så mycket
av upplevelse och arbetsglädje att de
finner undervisningen meningsfull
och stimulerande.
1. Formteckning — en rörelsemättad upptakt till geometrin
Upplevelserna av omvärlden och den
egna kroppen är starkt integrerade i
förskoleåldern och under de första
skolåren. Kroppen är i många viktiga
avseenden starkt präglad av symmetri
och det är därför naturligt att låta
övningar i formteckning börja med
det raka och det runda. Därefter ordnas dessa former till symmetrier.
Spegelbildsymmetri, bilateral symmetri, spelade en mycket framträdande roll i den fornbabyloniska konsten. När eleverna i åk 1 blivit någotsånär förtrogna med att rita raka streck
och runda former griper de sig gärna
an symmetriövningar. När en kurvform och en spegellinje är givna skall
de rita kurvans spegelform (fig 1).
Redan deras förmåga att utföra en
sådan uppgift ger läraren som biprodukt viktiga upplysningar om eleverna.
Från den bilaterala symmetrin går
vi vidare till rotationssymmetri. Den
kan lämpligen vara byggd på delning
av cirkeln i 3, 4, 5, 6, 8 eller 12 lika
delar (fig 2). Tre-, fem- och sjudelning erbjuder spännande möjligheter
att rita symmetriformer utan att lyfta
på pennan (fig 3).
Ett alltsedan Hellas viktigt formmotiv är bården, ornamentet: en viss
form upprepas gång på gång i en vald
riktning, t ex vågrätt (fig 4).
Andra värdefulla formteckningsmotiv är dubbelspiral, kurvskara och
flätade mönster. Fig 5 visar att dubbelspiralen kan erbjuda olikartad
dual dynamik medan den utförs;
kurvskaran ger möjlighet att uppleva
förvandling och de flätade mönstren
låter eleverna utveckla en förmåga att
uppfatta en plan figur tredimensionellt (fig 6).
Några praktiska synpunkter
De formteckningsövningar som här
exemplifierats fördelas i waldorfskolan på årskurs 1—4. Eftersom den
tredje dimensionen spelar en roll i de
flätade mönstren, låter vi dessa vänta
till årskurs 4, till en ålder, då eleverna
påtagligt vaknar upp och börjar bli
medvetna om en djupdimension. En
fjärdeklass, som får gå ut på sta'n
och teckna kyrkor eller andra byggnader, kan utföra de mest skiftande
naiva perspektiv; de visar klart hur
långt olika elever kommit att utveckla
förmågan till en tredimensionell uppfattning av tingen.
I waldorfpedagogiken betonas ofta
att "hela eleven skall gå i skolan, inte
bara huvudet". Detta motto är närmast självklart när det gäller formövningar i de lägsta klasserna. Barnen
börjar inte med pennteckningar på ett
A4-blad, nej, hela kroppen skall få
uppleva formerna i rejäla rörelser på
skolgården eller i en skolsal med stor
yta. Det finns många rörelser att förfoga över, rörelser för ett barn i sänder eller för elevgrupper av växlande
storlek. Många klassiska rörelselekar
är utmärkta.
Ett nästföljande steg kan vara att
begränsa rörelserna till armrörelser,
som eleverna utför stående, exempelvis med en stav i handen. (I waldorfskolan finns det speciella ämnet eurytmi att tillgå i bl a detta syfte.)
Det vore ännu för tidigt att rita
med blyertspenna; formerna skulle bli
alltför spinkiga. I de lägsta klasserna
används massiva färgkritblock i olika
färger. Deras storlek är ungefär som
storleken hos en mindre tändsticksask. Med dessa block får barnen teckna former på rätt stora ark.
Liksom barnen starkt upplever spegelsymmetrin, hade man i forna kulturer ett starkt förhållande till olika
slag av symmetrier. Att måla en grekisk bläckfisk eller ett par delfiner
(fig 7) eller att teckna flätade former
från bildstenar, stavkyrkor eller båtar
kan bli trevliga "tillämpningsövningar" på formteckning.
Men allt i naturen eller konsten är
inte spegelsymmetriskt. Det finns
mindre sträng symmetri, "sned"
symmetri. Och i många viktiga sammanhang råder asymmetri, exempelvis i människans lymfsystem. Det är
viktigt att låta eleverna få en upplevelse även av det asymmetriska (fig 8).
2. Geometri i 12-årsåldern,
en inkarnationshjälp och samtidigt
ett fröämne för utveckling av
koordinering av fantasi och logik
Sedan formteckningen i åk 5 klingat
ut i frihandsteckning av kurv- och
linjeskaror kan vi introducera linjal
och passare i åk 6 som "exakta"
instrument för linjer respektive cirklar.
Med bl a formteckningen som en
inre erfarenhet kan eleverna nu möta
"verklig" geometri i en rad konstruktionsuppgifter. Vi rör oss på klassisk
grekisk kulturmark men följer ingalunda Euklides, Archytas m fl berömdheter i pedagogiskt avseende.
Grekernas omfattande samlingsverk
"Elementa" var en dokumentation
av deras matematik, ej en pedagogiskt avfattad framställning för
skolbruk.
Om vi viker ett papper, sticker ett
hål och viker ut papperet, bildas en
spegelsymmetri: två punkter befinner
sig symmetriskt på var sin sida om
vikningskanten, som har blivit en
symmetrilinje.
Kan vi utan vikning, med passarens
hjälp hitta spegelpunkten till en given
punkt och en given spegellinje? Denna fråga kan tas som utgångspunkt
för en hel rad övningsuppgifter som
visar hur den räta vinkeln osökt dyker
upp ur den bilaterala symmetrin. Eleverna kommer själva på hur de skall
dra en normal till en linje, hur man
halverar en sträcka, hur man avsätter
eller halverar en vinkel osv. De kan
snart konstruera kvadrat, rektangel
och romb. Allt detta växer fram ur
spegelsymmetri (fig 9).
Ett annat huvudmotiv, som bör
passa bra i åk 6, är rotationssymmetri. Vi kan dela cirkeln i två lika delar,
i 4, 8, 16 etc. Hur är det med 6-
delning? "Går radien upp precis 6
gånger, när man avsätter den runt
cirkeln?" (Fig 10.)
"Elementa" omfattade 13 band och lär vara
det näst efter bibeln mest studerade bokverket
i Västerlandet. Banden hade olika matematiker som författare. Imponerande insatser
gjordes av Archytas (bok 8), Theaitetos (bok
10 och 13) samt Eudoxos (bok 5 och 12).
Euklides medverkade främst som redaktör
och didaktiker.
Den frågan öppnar dörren för en
rad laborativa övningar och leder till
frågan om triangelns vinkelsumma:
cirkelradien kan avsättas exakt 6
gånger om (och endast om) den liksidiga triangeln har 60°-vinklar.
Studiet av cirkelns 6-faldssymmetri
leder fram till satsen om triangelns
vinkelsumma. Vägen är, åtminstone
ur pedagogisk synvinkel, ingalunda
lätt, eftersom den måste gå genom
begreppet parallellitet. Vi kan inte gå
fram
akademiskt-vetenskapligt.
Framställningen skall vara enkel och
klar. Som pedagoger kan vi skaffa oss
god medvind om vi utnyttjar tillfällena att ge eleverna skönhetsupplevelser, främst genom det arbete de själva
utför.
De mönster som cirkelns 6-delning
ger upphov till genom färgläggning
uppvisar en stor variationsrikedom;
det ena mönstret är vackrare än det
andra (fig 11). Den omsorgsfullt utförda ritningen premierar sig själv genom precisionen i linje- och kurvspelet; läraren behöver inte vara en auktoritet som avger omdömen.
Men även betydligt enklare figurer
kan uppvisa en skönhet, om exaktheten är god. Vägen går här från hand
till hjärta, från det tekniska utförandet till den estetiska upplevelsen. Och
ur denna kommer osökt frågor rörande begrepp och sammanhang: "varför stämmer det här så bra?"
Två elever vässade länge sina pennor över papperskorgen (det var i en
sexa). När läraren gick runt och
hjälpte eleverna uppfattade han hur
en av de pojkarna sade: "Du, det är
nog omöjligt ändå, vi får aldrig en
punkt i blyertsspetsen!"
Den eleven hade engagerat sig i
begreppsbildningen. Bevisen för att
triangelns vinkelsumma är 180° och
för att periferivinkeln i en halvcirkel
är rät kan utgöra gryningen till en allt
klarare övning i logisk slutledning.
Därmed är den pedagogiska gången
utkristalliserad: laborativ undersökning och konstruktioner, figurritning
med händerna, känsloupplevelse av
det som ritas, målas eller byggs, och
logik i betraktelsen av det vi utfört.
Eleverna vill ha spänning
Det laborativa arbetet bör helst göras
spännande. Om några elever exempelvis eftersträvar att sätta ett rekord
beträffande triangelns vinkelsumma,
så är det snart spänning i luften. I en
sjätteklass hade två pojkar med stor
övertygelse om framgång föresatt sig
att skära till en triangel med en vinkelsumma omkring 185°. Deras strategi var att låta två vinklar bli omkring 89° vardera. De hyste gott hopp
om att den tredje vinkeln skulle kunna pressas upp mot 6—7°.
Efter sådana experiment är klassen
helt övertygad om att triangelns vinkelsumma är 180°. Förslag på hur
man kan gå vidare är ganska utförligt
givna i Täljarenhäftet Geometri och
vår omvärld av Hedrén (red), Hellström, Skoogh och Ulin. (Se även fig
12.)
Fig 12
Pennan blir hjälpmedel.
Begrepp som kan växa
Från Piagets forskning vet vi att barnen lever i en konkretionsfas fram till
14—15-årsåldern. I 12-årsåldern kan
vi märka en morgonrodnad mot ett
intresse för användning av logik, exempelvis i härledningen av triangelns
vinkelsumma. Behovet av konkretion
medför att definitioner i regel inte är
särskilt fruktbara. Det gäller att beskriva, i början av den egentliga geometriundervisningen, så åskådligt att
undervisningen blir fullt upplevbar.
Med hjälp av armrörelser kan man
introducera (det rätt svåra) vinkelbegreppet; vinkeln uppfattas som del av
ett varv och därvid gärna den räta
vinkeln allra först.
Till en god konturering av växande
begrepp kan ibland en "kuggfråga"
bidra. Om vi exempelvis frågar vilken
vinkel som är störst av de två vinklarna i figuren här intill, så ställs en del
elever inför en knepig uppgift. Men
när de väl finner eller åtminstone förstår svaret, så har de fått ett betydligt
bättre grepp om vinkelbegreppet. De
förstår att vinkelbenens längd inte alls
har någon betydelse för vinkelns storlek.