Inneh˚all

Formler för elvåg
Ulf Lundström
15 oktober 2009
Detta dokument innehåller användbara formler och ekvationer för kursen
SK1110 Elektromagnetism och vågrörelselära. Det innehåller långt i från allt i
kursen men många av de mest användbara formlerna. Formlerna är de formler
jag gått igenom på övningarna för att lösa övningstalen och är därför uppdelade
efter vilken övning de först används på. Dokumentet är inte klart än, men
kommer utvidgas för varje ny övning.
Dokumentet finns tillgängligt på www.f.kth.se/˜ulflund.
Innehåll
1 Akustik
2
2 Elektriska fält
3
3 Elektrisk potential och kondensatorer
5
4 RC-kretsen och magnetiska fält
7
9 Interferens
8
1
Övning 1
Akustik
Intensitet är effekt per yta,
I=
P
A
[W/m2 ],
(1.1)
där P är effekten och A är arean den är spridd över. För ljudvåg gäller
I=
1 2 2
a ω Z,
2
(1.2)
där a är amplituden hos förskjutningen, ω = 2πf är vinkelfrekvensen, Z
är den akustiska impedansen för materialet. Akustiska impedansen kan fås
ur andra materialparametrar som
Z = ρc [kg/(m2 s)],
(1.3)
där ρ är densiteten och c är ljudhastigheten i materialet. Luft har Zluft ≈
420 kg/(m2 s) och vatten Zvatten ≈ 1.5 · 106 kg/(m2 s)
Ljudintensitetsnivå är en logaritmisk skala för intensitet,
I
β = log10
· 10 dB, där I0 = 10−12 W/m2 .
I0
(1.4)
Reflektans är andelen av en ljudvåg som reflekteras vid infall mot en gränsyta
mellan två material.
IR
,
(1.5)
R=
Iin
där Iin är infallande intensitet och IR är reflekterad intensitet. För vinkelrätt
infallande ljud gäller
2
Z1 − Z2
,
(1.6)
R=
Z1 + Z2
där Z1 och Z2 är den akustiska impedansen hos de två materialen.
Transmittans är andelen som fortsätter genom ytan,
T =
IT
= 1 − R.
Iin
2
(1.7)
Övning 2
Elektriska fält
Coulombs lag säger att kraften F mellan två laddningar q1 och q2 [C] på
avstånd r ges av
q1 q2
[N],
(2.1)
F =
4π0 r2
där 0 = 8.85 · 10−12 C2 /(Nm2 ) är permittiviteten hos vakuum.
Elektrisk kraft på en laddning q ges av
F = qE,
(2.2)
där E är det yttre elektriska fältet vid laddningen. (En variabel med fet
stil är en vektor och har därmed både storlek och riktning. För hand skrivs
~ Samma
det normalt med ett streck eller pil över bokstaven, E = Ē = E.
variabel utan fet stil betecknar absolutbeloppet av vektorn, E = |E|.)
Elektriskt fält E [N/C=V/m] på avstånd r från en laddning ges nedan för
några vanliga laddningsfördelningar.
punktladdning q [C]:
q
4π0 r2
(2.3)
λ
2π0 r
(2.4)
σ
(oberoende av avstånd)
20
(2.5)
E=
oändlig linjeladdning λ [C/m]:
E=
oändlig ytladdning σ [C/m2 ]:
E=
En linje eller yta kan approximeras som oändlig på avstånd r mycket
mindre än längden på linjen eller ytan.
Superpositionsprincipen säger att det totala elektriska fältet är summan av
de individuella elektriska fälten från alla närvarande laddningar.
3
Övning 2. Elektriska fält
Formler för elvåg
En elektrisk dipol består av två laddningar q och −q förskjutna ett litet
avstånd d. Den har ett dipolmoment
p = qd
[Cm].
(2.6)
Det elektriska fältet är på ett avstånd r vinkelrätt med d är
E⊥ =
p
.
4π0 r3
(2.7)
Parallellt ut med d är fältet istället dubbelt så stort
Ek =
p
.
2π0 r3
(2.8)
Gauss sats säger att
I
E · dA =
A
Q
,
0
(2.9)
där Q är laddningen innesluten av ytan A.
Elektriskt ledande material får en ytladdning som gör det totala elektriska
fältet till 0 i materialet.
4
Övning 3
Elektrisk potential och
kondensatorer
Elektrisk potential V [V] definieras utifrån
− ∇V = E,
(3.1)
där V kan sättas till 0 var man vill, t.ex. i jord eller oändligheten.
Spänning Uab är skillnad i elektrisk potential mellan punkterna a och b,
Z
Uab = Vb − Va = −
b
E · dr
[V],
(3.2)
a
där integralen är oberoende av väg från a till b.
Potentiell energi hos en laddning q på potential V är den energi som krävs
för att flytta laddningen från potential 0 till potential V ,
Epot = qV
[J].
(3.3)
Kondensatorn är en elektrisk komponent som kan lagra laddning. Den har en
kapacitans
Q
C
F=
.
(3.4)
C=
U
V
Plattkondensatorn består av två elektriskt ledande plattor av area A på
avstånd d och har kapacitans
C = 0 r
A
,
d
(3.5)
där r är den relativa permitiviteten hos materialet mellan plattorna. Mellan plattorna är det elektriska fältet
E=
5
U
d
(3.6)
Övning 3. Elektrisk potential och kondensatorer
Formler för elvåg
A
d
Lagrad energi i en uppladdad kondensator ges av
Epot =
1
CU 2
2
(3.7)
Seriekoppling av kondensatorer med kapacitans C1 och C2 ger kapacitans
1
1
1
=
+
Cserie
C1
C2
(3.8)
Parallellkoppling av kondensatorer med kapacitans C1 och C2 ger kapacitans
Cparallell = C1 + C2
(3.9)
6
Övning 4
RC-kretsen och magnetiska
fält
RC-kretsen: Urladdning av en kondensator med kapacitans C över en resistans R sker med en tidskonstant τRC = RC. Laddningen sjunker som
Q(t) = Q0 e−t/τRC
C
(4.1)
R
Magnetfält: En laddning q med hastighet v i ett magnetfält B [T=Ns/(Cm)]
utsätts för en kraft
F = qv × B
(4.2)
Detta ger upphov till en cirkulär rörelsebana med krökningsradie
mv
R=
,
|q|B
(4.3)
där m är massan på partikeln.
En rak ledare av längd l med ström I utsätts på samma sätt av en kraft
F = Il × B
(4.4)
Magnetisk dipol: En sluten strömslinga med area A och ström I har ett magnetisk dipolmoment
µ = IA,
(4.5)
med riktning vinkelrätt ut från ytan.
I ett magnetfält B utsätts dipolen för ett kraftmoment
M = µ × B (M = µB sin θ)
7
(4.6)
Övning 9
Interferens
Optisk väg (optical path length) är sträckan ljuset färdas viktat med brytningsindex i det medium det färdas,
OP L = nx.
(9.1)
Vid flera olika material läggs de optiska vägarna för alla delsträckor ihop.
Fasskillnad mellan två ljusstrålar med samma ursprung säger hur mycket de
har blivit förskjutna relativt varandra när de återförenas,
∆φ =
2π∆OP L
.
λ
(9.2)
Intensiteten hos två interfererande strålar ges av intensiteten hos stråle
1 och 2 och fasskillnaden mellan dem,
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(∆φ).
(9.3)
Maximal konstruktiv interferens inträffar då ∆OP L = mλ eller ekvivalent
∆φ = 2πm för m = 0, ±1, ±2, . . . .
Maximal destruktiv interferens inträffar då ∆OP L = m + 21 λ eller ekvivalent ∆φ = 2πm + π för m = 0, ±1, ±2, . . . .
Tunnt skikt av tjocklek d och brytningsindex n ger en optisk vägskillnad
λ/2 om en av reflektionerna är mot tätare medium
∆OP L = 2nd cos(θt )+
0
annars
(9.4)
mellan ljus som reflekterats från den första och den andra ytan, där θt är
transmissionsvinkeln för första ytan.
Vinkelrät reflektion i gränsyta ger en reflektivitet
2
IR
n2 − n1
R=
=
,
Ii
n2 + n1
där n1 och n2 är brytningsindex för de två materialen.
8
(9.5)

Inneh˚all

Related documents

Products

Support

Inneh˚all

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib