MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
TEN2
Datum: 27 augusti 2010
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel
Denna tentamen TEN2 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3
poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S2 , och
den vid tentamen TEN1 erhållna S1 , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs av villkoren
S1 , S2 ≥ 13
och
S1 + 2S2 ≤ 64
→
godkänd (g)
S1 + 2S2 ≥ 65
→
väl godkänd (vg)
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
2.
Man kan relativt enkelt visa att de i x, y-planet begränsade områden som precis innesluts
av de två kurvorna y = cos(x) och y = sin(x) alla har lika stor area. Åskådliggör i en figur
ett av dessa inneslutna områden, och beräkna dess area.
√
√
3
a5 b 2 c 4 a7 b 3 c
√
√
Förenkla uttrycket
så mycket som möjligt. Det antages att a, b, c > 0.
a2 b c3 5 ab2 c3
3.
Skissa funktionskurvorna y = ln(x) och y − 2 = ln(x + 3). Tydliggör i skissen på enklaste
vis det som karakteriserar kurvorna.
4.
Lös ekvationen 1 + cos(x) + 2 sin2 (x) = 0 .
5.
Förklara och ange definitionsmängden för funktionen f definierad enligt
r
x−1
f (x) =
.
2
x −x−6
6.
Lös ekvationen
7.
√
Bestäm till kurvan γ : y = x ekvationen för den tangent τ som är parallell med den räta
linjen λ : x − 4y + 12 = 0. Skissa även kurvan, tangenten, och den räta linjen.
8.
Vad är det exakta värdet av sin(14φ) om sin(7φ) = − √13 och
9.
Gör en geometrisk tolkning av ekvationen 1 + 3x + y + x2 = 0, och skissa resultatet.
√
2
log (2 log (5 log(x))) = 2.
3π
14
<φ<
2π
7
?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
Avdelningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Examinator: Lars-Göran Larsson
Läsår: 2009/10
1.
TEN2
Tentamen TEN2 – 2010-08-27
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
2 2 a.e.
1p: Korrekt skiss av det inneslutna området, och (algebraiskt)
korrekt bestämd skärning mellan de två kurvorna
1p: Korrekt uppställd integral, samt korrekt primitiv
1p: Korrekt angiven area
Den som har uppfattat det som att uppgiften är att beräkna
arean av det begränsade område som precis avgränsas av yaxeln och de två kurvorna i intervallet [0, π 4] , kan få upp
till totalt 2p, allt beroende på hur föresatsen har genomförts.
Den som har uppfattat det som att uppgiften är att beräkna
arean av det begränsade område som precis avgränsas av xaxeln i intervallet [0, π 2] , kurvan γ 1 i intervallet [0, π 4] ,
och kurvan γ 2 i intervallet [ π 4, π 2] , kan få upp till totalt
1p, allt beroende på hur föresatsen har genomförts.
2.
a89 30b19 15c − 53 30 = 30 a89b38 c53
1p: Korrekta tolkningar och utvecklingar enligt
3
a 5b 2c 4 = (a 5b 2c 4 )1 / 3 = a 5 3b 2 3c 4 3
b = b1 / 2 ,
a 7 b 3 c = ( a 7 b 3 c)1 / 2 = a 7 2 b 3 2 c 1 2 ,
5
ab 2 c 3 = (ab 2 c 3 )1 / 5 = a 1 5 b 2 5 c 3 5
1p: Korrekta ihopsamlingar av exponenterna för respektive
bas, dvs a 5 3 − 2 + 7 2 −1 5b 2 3−1 2 + 3 2 − 2 5c 4 3− 3 +1 2 − 3 5
1p: Korrekt slututtryck
1p: Korrekt skiss av kurvan y = ln(x) , dvs rätt kurvform
och avpassad efter asymptoten x = 0 och skärningspunkten (1, 0) . Om skärningspunkten (e ,1) är medtagen
är detta ett plus
2p: Korrekt skiss av kurvan y − 2 = ln( x + 3) , dvs rätt kurvform och avpassad efter asymptoten x = −3 , och skärningspunkten (−3 + 1, 2 + 0) = (−2 , 2) . Om skärningspunkten (−3 + e , 2 + 1) är medtagen är detta ett plus.
3.
4.
x = π + n 2π , där n ∈ Z
1p: Korrekt faktorisering av ekvationens vänsterled
1p: Korrekt not att faktorn 2 cos( x) − 3 inte kan vara lika med
noll för reella x (ty − 1 ≤ cos( x) ≤ 1 för alla reella x )
1p: Korrekt angivna lösningar till nettovillkoret cos( x) = −1
5.
D f = (−2 ,1] ∪ (3 , ∞)
1p: Korrekt angivet villkor för kvoten under rottecknet, samt
korrekt gjord faktorisering av nämnaren
2p: Korrekt utfört teckenstudium, och utifrån detta, en
korrekt angiven definitionsmängd
1 (2)
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
Avdelningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Examinator: Lars-Göran Larsson
Läsår: 2009/10
6.
TEN2
Tentamen TEN2 – 2010-03-24
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
x = 625
1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen
2
log( 5 log( x)) = ( 2 ) 2 = 2
1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen
5
log( x) = 2 2 = 4
1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen
x = 5 4 = 625
Den som korrekt har löst uppgiften och kommit fram till
svaret x = 5 4 , men sedan felaktigt utvecklat 5 4 till något
annat än, men snarlikt 625 , får ändå alla de tre poängen.
1p: Korrekt funnen tangeringspunkt P0 för τ
1p: Korrekt formulerad ekvation för tangentlinjen τ till
γ i P0
1p: Korrekt skiss av kurvan, tangentlinjen, och linjen λ
7.
Tangentens τ:s ekvation : y = 14 x + 1
8.
−
9.
y − 54 = −( x + 32 ) 2 , dvs en med y-axeln Scenario 1
parallell och upp-och-nedåtvänd parabel 1p: Korrekt omskrivning av ekvationen till tolkningsbar form
med vertex i punkten (− 32 , 54 )
1p: Korrekt tolkning att vertex ligger i punkten i (− 32 , 54 )
1p: Korrekt tolkning att det är en med y-axeln parallell och
upp-och-nedåtvänd parabel, samt en korrekt skiss
2 2
3
1p: Korrekt absolutbelopp för cos(7φ )
1p: Korrekt tecken för cos(7φ )
1p: Korrekt bestämning av värdet på sin(14φ ) utifrån
omskrivningen sin(14φ ) = 2 sin(7φ ) cos(7φ )
Scenario 2
1p: Korrekt tolkning av ekvationen som en för en parabel,
samt korrekt funnen x-koordinat för vertex
1p: Korrekt funnen y-koordinat för vertex
1p: Korrekt tolkning att det är en med y-axeln parallell och
upp-och-nedåtvänd parabel, samt en korrekt skiss
2 (2)
