Simulering av planetbanor
I denna laboration kommer du att arbeta med ett Matlab-program som simulerar planetbanor.
Syftet med laborationen är att öka förståelsen för vad som händer om man förändrar
banparametrarna för en planet, verifiera Keplers tredje lag och att undersöka några villkor
som skall vara uppfyllda för att en dubbelstjärna skall kunna ha planetsystem.
Uppgift 1: Solsystemet
I Europa dominerade den grekiska världsbilden med jorden i centrum långt in på medeltiden.
Den första Europé att förespråka ett solsystem med solen i centrum var Kopernikus, i mitten
på 1500-talet. Detta var dock något som man observerat i mellanöstern redan på-700 talet. Att
solen skulle vara solsystemets medelpunkt var något som inte togs väl emot av kyrkan. Man
menade att det stred mot bibeln, och att hävda något sådan kunde straffas som kätteri. För att
undvika dispyter med kyrkan valde därför en del astronomer, däribland Tyco Brahe, modeller
av solsystemet med jorden i mitten där månen, solen och stjärnorna roterade runt jorden
medan planeterna roterade runt solen. Så sent som 1634 fick en av historiens största
vetenskapsmän, Galileo Galilei, livstids husarrest för kätteri och tvingades avsäga sig sina
idéer efter att ha förespråkat Kopernikus världsbild. Det dröjde ända in på mitten av 1800talet innan kyrkan ändrade sin uppfattning i frågan.
Vi skall nu studera planetbanor med de två olika synsätten, dvs med jorden respektive solen i
centrum. Programmet är ett Matlab-program och du hämtar det från kurssidan:
http://www.tp.umu.se/Astronomi/. Packa upp filerna och spara dom i en mapp på
t.ex skrivbordet. Starta Matlab och ändra ”Current folder” till den mapp där du packat upp
programmet. Skriv sedan in ”startgui” i ”Command Window”. Du får nu upp ett nytt
fönster som heter ”Solar system simulator”, detta är vårt programs huvudmeny. Från detta
fönster kan du antingen välja att ladda upp en exempelfil genom att klicka på ”Load system”,
eller att konstruera ett eget system av himlakroppar genom att klicka på ”New system”.
Klicka på ”Load system” och välj exempelfilen ”Solsystemet.ssf”. Du får nu upp ett
fönster som heter ”Construct system”. Här kan man lägga till, ta bort eller editera de
stjärnor/planeter som vi kommer att simulera, i detta fall solsystemet. Vi skall inte editera
något i detta läge, så gå vidare genom att klicka på knappen ”Start”.
Du får nu upp ett tredje fönster som heter ”Simulation window”. På knapparna till vänster kan
du zooma in så att du endast ser de inre planeterna till och med Jupiter (rosa). Välj sedan
Jorden som ”Frame of reference” (det betyder att jorden kommer att vara fixerad på skärmen)
och markera rutan ”show orbits”. Starta simuleringen.
Simuleringen visar nu hur planetbanorna ser ut sett ifrån jorden. Om du tycker att
simuleringen går långsamt kan du öka tidssteget något. Om tidssteget är för stort så bevaras
inte energin i systemet. Detta kan du övervaka med ”Rel. Energy” som skall vara nära 1.
Studera solens bana (röd) och planetbanorna. Vilka himlakroppar ser ut att göra cirkulära
banor runt jorden? Varför ser inte de andra himlakropparnas banor cirkulära ut?
1
Hur är det med månen? Zooma in till dess att du ser månen. Om du vill kan du justera
storleken på himlakropparna med ”Object size” så att jordens storlek blir mindre än månens
omloppsbana. Är månens bana cirkulär runt jorden? Varför?
Vi har nu sett hur komplicerat planetbanorna ser ut sett ifrån jorden. Du inser kanske att det
inte var helt lätt för de tidiga astronomerna att förutse planeternas position på himlen en
längre tid framåt. Byt nu ”Frame of reference” till solen och kör simuleringen igen. Du förstår
nu kanske varför beskrivningen av solsystemet med solen i centrum är mycket mer tilltalande
för astronomer än ett solsystem med jorden i centrum.
Uppgift 2: Planetbana
I denna uppgift så skall du räkna fram en cirkulär planetbana samt variera initialhastigheten
uppåt och nedåt för att se vad som blir resultatet. Som utgångspunkt skall du använda en
stjärna med samma data som solen (se formelbladet).
Stäng alla fönster utom huvudmenyn. Välj ”New system”. Du får nu upp ett nytt fönster som
heter ”Construct system”. På den översta raden (”New astronomical objekt”) lägger du in
parametervärden för den första stjärnan. Planetbanorna beskrivs med cylindriska koordinater:
Radial Coord.
Angular Coord.
Radial Vel.
Tangential Vel.
Object radius
Radielt avstånd från origo
Vinkel relativt x-axeln
Radiell hastighet (noll vid cirkulär bana)
Den tangentiella hastigheten, dvs vinkelrät mot
den radiella vektorn
Storleken på objektet (endast en visuell effekt).
Notera vilka enheter som används innan du för in dina parametervärlden. När du är nöjd
klickar du på knappen ”Add astronomical object”.
På samma sätt kan du lägga till ytterligare objekt. Du skall nu lägga till en planet i ditt system.
För att hitta en lämplig cirkulär omloppsbana så kan du utgå ifrån gravitationslagen och
uttrycket för centripetalkraften. Dessa kommer att ge den angulära initialhastighet som
planeten skall ha. Du kan välja radien för omloppsbanan samma som jordens (dvs 1 AU). Du
kan vidare ge planeten samma massa som jordmassan. Detta är inte viktigt för omloppstiden
så länge massan är så mycket mindre än solmassan (<1%) att man kan approximera med en
centralkraft.
Om något blev fel eller om du vill ta bort ett objekt kan du göra det på rad två, ”Edit / delete
existing object”. Dina ändringar sparas dock inte förrän du trycker på ”Confirm Changes”.
Vilken blir hastigheten?
2
Vilken omloppstid har planeten?
Verifiera ditt svar genom att simulera omloppsbanan. Är planetbanan cirkulär?
Prova nu att sänka initialhastigheten till hälften. Vad händer?
Ungefär hur lång blir periodtiden? Simulera ett varv och betrakta tidräkningen på skärmen.
Höj nu initialhastigheten från den ursprungliga med 5 km/s. Vad händer nu?
Ungefär hur lång blir periodtiden nu?
Återställ nu initialhastigheten till det ursprungliga.
Uppgift 3: Verifiering av Keplers tredje lag
I förra uppgiften räknade du ut omloppstiden för en planet med cirkulär bana. Du skall nu
beräkna den cirkulära bana som ger dubbla omloppstiden jämfört med den tidigare. Använd
Keplers tredje lag för att beräkna denna. Vad blir banradien?
Vilken initialhastighet skall planeten ha?
Stäng simuleringsfönstret och skapa en ny planet i fönstret ”Construct system” för att verifiera
att beräkningen är riktig.
Uppgift 4: Dubbelstjärnor - central planet
Gå tillbaka till huvudmenyn och öppna exempelfilen som heter
”binary_star_planet.ssf”. I detta system har vi två tunga stjärnor som roterar runt
varandra. Mitt emellan stjärnorna finns en lätt planet. Låt simuleringen köra en stund. Vad
händer?
3
Tror du ett sådant planetsystem kan existera i verkligheten? Motivera svaret.
Uppgift 5: Dubbelstjärnor - planetbildning
Ett solsystem föds ur ett kosmiskt moln som störts på grund av någon yttre påverkan.
Gravitation från densitetsstörningen gör att molnet vill kontrahera. Molnet måste till en början
ha en (svag) rotation för att ett planetsystem skall uppstå. För att rörelsemängdsmomentet
skall bevaras så ökar molnets rotationshastighet när det kollapsar. Rotationen motverkar
kollaps (centrifugalkrafter) i rotationsplanet men inte i vertikalplanet. Detta leder till att
molnet formar en disk, och detta förklarar varför alla planeter i ett solsystem ligger nära det så
kallade ekliptikalplanet. I takt med att mer gas ansamlas så ökar trycket och temperaturen i
kärnan av molnet, och så småningom bildas en stjärna. Under tiden så har stoftkorn i disken
slagit sig samman och bildat miljardtals kilometerstora kroppar, så kallade planetesimaler.
Dessa påverkar varandra genom gravitation, vilket leder till kollisioner och större och större
kroppar byggs upp. Efter ca 100 miljoner år så har ett planetsystem bildats.
Vi skall nu studera möjligheten för planetbildning i dubbelstjärnesystem. Gå tillbaka till
huvudmenyn och öppna exempelfilen som heter ”Planet_formation.ssf”. I detta
system så har vi flera små himlakroppar som snurrar runt masscentrum av två tunga stjärnor.
De tunga stjärnorna roterar också runt masscentrum. Vi kan se de små himlakropparna som
planetesimaler som så småningom skulle kunna bilda planeter i detta dubbelstjärnesystem.
Starta nu simuleringen.
Beskriv vad som händer. Var i detta system du tror att planeter skulle kunna bildas? Finns
områden där planeter inte skulle kunna bildas?
Uppgift 6: Dubbelstjärnor - modifierat solsystem
Vi skall nu titta på ett modifierat solsystem där Jupiter är betydligt tyngre än i vårt solsystem.
Gå tillbaka till huvudmenyn och öppna exempelfilen som heter ”Solsystemet.ssf”. På
andra raden (”Edit / delete existing object”) i fönstret ”Construct system” väljer du Jupiter.
Öka Jupiters massa 89 ggr (det är den minsta massan som krävs för att en stjärna skall
antända) och ändra ”Angular Coord.” till -50o. Bekräfta ändringen genom att klicka på
”Confirm Changes”. Klicka på ”start” så du kommer vidare till ”Simulation window”. Ändra
nu tidssteget till 150 000 s och starta simuleringen. Studera framför allt hur Saturnus
(mörkröd färg) uppför sig. Vad tror du om möjligheterna att finna planeter i ett sådant
solsystem?
4
Sammanfatta nu vad du lärt dig om möjligheterna att hitta planeter i dubbelstjärnesystem där
A) Dubbelstjärnorna är nära varandra.
B) Dubbelstjärnorna är separerade långt ifrån varandra.
Uppgift 7: Flyby
Vi skall nu titta på något som kallas fly-by, vilket används när man vill skicka satelliter till
solsystemets ytterkanter. Gå tillbaka till grundmenyn och öppna exempelfilen som heter
”Flyby.ssf”. I denna fil har vi ett solsystem där Jupiter är 100 ggr tyngre än i
verkligheten1. Vi har även lagt dit en satellit (svart) som skjuts iväg från jorden. Innan du kör
igång simuleringen så ökar du tidssteget till 25000 s. Du kan även zooma in och justera
planetstorlekarna efter eget omdöme. Starta simuleringen. Notera att satelliten får en extra
skjuts och byter riktning när den passerar Jupiter.
Sätt Jupiter till ”Frame of reference” och kör simuleringen en gång till.
Förklara varför satelliten ökar sin fart när den passerar Jupiter. Varifrån tas rörelseenergin?
Satelliten Voyager 1 gjorde en flyby hos både Jupiter och Satrunus och fick på så sätt en
hastighet som är större än flykthastigheten från solsystemet. Att låta en satellit göra flyby hos
flera planeter är lång ifrån trivialt eftersom planeterna måste vara på rätt ställe när satelliten
når fram till deras omloppsbana. Voyager 1 skickades iväg i September 1977 och befinner sig
idag (Mars 2011) på avståndet 116 AU. Notera att avståndet till vår yttersta planet är 30 AU.
Voyager 1 sänder fortfarande vetenskapliga data till jorden, och beräknas kunna göra så ända
till ca år 2025.
1
Detta är endast för att göra händelseförloppet mindre känsligt för tidssteget och därmed simuleringen snabbare.
Liknande effekter som vi skall undersöka kan uppnås även med mindre planeter, men då måste man vara noga
med både initialvillkor samt köra simuleringen med ett mycket mindre tidssteg.
5
Formelblad
Solen
Merkurius
Venus
Jorden
Månen
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus
Medelavstånd från
solen (AU)
---
0,3871
0,7233
1,000
2,577.10-6
1,524
5,203
9,539
19,19
30,06
Omloppstid (år)
---
0,241
0,615
1.000
37,3 dagar
1,881
11,86
29,46
84,02
164,8
Massa (Jordmassor)
332800
0,0550
0,814
1,000
0,0123
0,108
317,8
95,18
14,53
17,14
Enheter:
Keplers lagar:
Jordmassa: 5,977.1024 kg
AU:
1,49598 .1011 m
Keplers första lag:
Varje planets bana utgör en ellips med Solen i ena
brännpunkten
Konstanter:
Keplers andra lag:
Den räta linjen mellan Solen och en planet sveper på lika
lång tid över lika stora ytor.
Gravitationskonstanten: G = 6,67259.10-11 m3 s-2 kg-1
Formeler:
Keplers tredje lag:
Kvadraterna på planeternas omloppstider förhåller sig till
varandra som kuberna av deras medelavstånd till Solen:
Newtons gravitationslag:
Centripetalkraften:
6
