Introduktion av trigonometri
Svante Silvén
Följande inledning till trigonometrin har använts med framgång i åk 1 i
gymnasiet i många år.
Den här introduktion har jag använt med
framgång under en följd av år i åk 1 på
gymnasiet. De trigonometriska funktionerna behövs, eftersom man ej har proportionalitet mellan vinklar och sidor. Denna
icke-proportionalitet illustreras i figur 1.
Att v fördubblas medför icke att y fördubblas, dvs v och y är ej proportionella.
Efter en kort diskussion med eleverna,
kan man fråga dem vad man kan göra för
att få värdena på x och y, om värdena på
hypotenusan och en vinkel förutom den
räta är kända. Förslaget att mäta kateterna
x och y kommer med säkerhet upp förr eller senare.
Vi bestämmer nu att vi skall mäta x och
y för fixt värde på hypotenusan h och varierande värden på vinkeln v. Naturligtvis
gör man tabell för detta ändamål, se nedan.
Lämpligt värde på h?
Om man har många trianglar, vad gör
man då? Mätetalet på h bör vara 1. För att
kunna mäta noggrant är 1 dm bra, se figur 2.
v
grad
x
y
y
v
v
x
x är konstant
h
y
h
y
v
v
Figur 1
h är konstant
Systematisera
h=1
y/x
Figur 2
0
5
10
.
.
.
85
90
95
.
.
.
175
180
Nämnaren nr 2, 1996
I tabellen tas inte y/x med från början, utan
först senare då tanv införs.
Hur kan man skilja på x-värden för t ex
v = 30° och v = 150°? Svar: x = – 0,5 till
vänster.
Eleverna ser enhetscirkeln växa fram!
Tabellen renskrivs på separat papper, att
användas på lektioner och hemma samt på
första provet med trigonometri.
Svante Silvén är f d lektor i matematik
och fysik från Karlstad.
43
Inga miniräknare under denna inledande
period!
Namnen cosinus och sinus introduceras senare, liksom tangens. Figur 3 visar
exempel på övningar, som anbefalles.
Varierande lägen på trianglar och vinklar
rekommenderas. Även exempel som enbart
är formulerade i ord, d v s utan figur, bör
ges. Beräkning av längder av flaggstänger, bergshöjder, tak m m ej att förglömma!
Här kan det vara motiverat att ge grunderna i interpolation, då man söker vinklar.
h
h
y=?
v
v
x=?
h=?
y
h=?
v
v
x
Enhetscirkeln bör ritas ritas ut i varje
övningsexempel en tid framöver. Här
kommer likformighet väl till pass, se
figur 4 nedan.
h
h
v=?
v=?
x
Figur 3
c
1
b
y
x
a
Figur 4
Fördelar
Eleven får ett egenhändigt tillverkat instrument (tabellen) att använda, vilket ger ökad stimulans och lust. Enhetscirkeln blir så
att säga naturlig för dem.
Man slipper införa två separata definitioner av cos v och sin v,
först med hjälp av rätvinkliga trianglar och senare de generella
med hjälp av enhetscirkeln. Eleverna har ju en tendens att minnas det först inlärda.
Handhavandet av tan v överlåter jag med varm hand åt läsarenläraren!
44
y
Nämnaren nr 2, 1996
y
