ALGEBRA

ALGEBRA
Populärt brukar algebra
ibland kallas
för bokstavsräkning
GENOMGÅNG 3.1
Uttryck och ekvationer
EKVATION
Ekvation betyder LIKHET
2  4  5  13
UTTRYCK
200  24  x
konstant
koefficient
variabel
200  24x
Ett uttryck med en variabel kallas ett bokstavsuttryck eller algebraiskt
uttryck.
FÖRENKLING AV UTTRYCK
Vad är 5x  3x ?
xxxxx
+
xxx
x  x  x  x  x  x  x  x  8x
OBS!
x  x x x
3
3x  x  x  x
Hur skall man göra för att inte
blanda ihop dessa?
Test med tal!
2  222
3 2  2  2  2
3
Test med tal!
2 8
3
3 2  6
Hur mycket är…
x4
3
x 
3x 
Hur mycket är…
x4
4
x 
4x 
Hur mycket är…
x7
3
x 
3x 
FÖRENKLING AV UTTRYCK
a)
5x  3x  2x
b)
4y  y  5y
c)
7s  6s  1s  s
d)
8x 10  2x  3  8x  2x 10  3  6x  7
ADDITION AV UTTRYCK
(3x  5)  (7 x  9)
 (3x  5)  (7 x  9)
3x  5  7 x  9
10x 14
SUBTRAKTION AV UTTRYCK
(3x  5)  (7 x  9)
 (3x  5)  (7 x  9)
 3x  5  7 x  9
 4x  4
4  4x
ÄPPLEN OCH PÄRON
Äpplen kostar a kr/kg och päron kostar b kr/kg. Vad
betyder
a) 5 × a
b) 9b
c) 2a + 3b
a) Priset i kronor för 5 kg äpplen
b) Priset i kronor för 9 kg päron
c) Priset i kronor för 2 kg äpplen och 3 kg päron
STÄLLA UPP FORMLER
Ställ upp en formel för y då
a) y är summan av a och x
y ax
b) y är differensen av a och x
y ax
OBS!
c) y är produkten av a och x
y  a  x  ax
d) y är kvoten av a och x
a
y
x
UPPGIFT
Vad kostar det att framkalla en färgfilm och kopiera 36
bilder, om framkallningskostnaden är 9,50 kr och
kopieringskostnaden är 2,05 kr per bild?
Framkallningskostnad: 9,50 kr
Kopieringskostnad: 36 × 2,05 kr = 73,80 kr
Total kostnad: 9,50 kr + 73,80 kr = 83,30 kr
Det kostar T kr att framkalla en färgfilm och kopiera
n stycken bilder, om framkallningskostnaden är a kr och
kopieringskostnaden är b kr per bild? Ställ upp en formel
för T.
Framkallningskostnad: a kr
Kopieringskostnad: n × b kr = nb kr
Total kostnad: T = a kr + nb kr = (a +nb) kr
Att lösa ekvationer
5
 10
2x
5
2x 
 10  2 x
2x
Multiplicera båda leden med 2x
5  20x
Dividera båda leden med 20
5 20 x

20 20
5
5
xx
20
20
1
x
4
Förkorta med 5
Att lösa ekvationer
Kontroll:
1
5
Är x  en lösning till ekvationen
 10 ?
4
2x
5
5 5
   10  VL  HL
1 2 1
2
4 4 2
1
5
Svar: Ja, x  är en lösning till ekvationen
 10 .
4
2x
LÖSA UT VARIABEL
Lös ut
t
ur följande uttryck:
-a
dividera med s
b  a  st - a
b  a st dividera med s
b  a  st
s
s
ba
t
s
ba
t
s
GENOMGÅNG 3.2
Potensekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Ekvationer
Potensekvationer
4  4  4  16
2
4 2
2
x  25 x   25
x1  5 x2  5
Ekvationen
x a
n
x 5
x x x  5
3
x 5 x5
3
1
3
Ekvationen
x a
n
x 5
3
1
3
x5
x  1,71
OBS!
x
( 2)
5
x 5
3
x 5
4
1
2
x5
x5
1
3
x5
1
4
OBS!
x5
x5
x5
1
2
5^(1/2) = 2,2360679775
1
3
5^(1/3) = 1,70997594668
1
4
5^(1/4) = 1,49534878122
GENOMGÅNG 3.3
Formler och mönster
Uppgift 3301
Uppgift 3302
Uppgift 3313
Uppgift 3314
Lös ut y
2 y  6x  0
2 y  6x
2 y 6x

2
2
y  3x
Kontroll!
2(3x)  6 x  0
6x  6x  0
Stämmer!
GENOMGÅNG 3.4
Olikheter och problemlösning
Problemlösning
Simon tänker på ett tal. Då han fördubblar talet och lägger till
18 blir resultatet 74.
Vilket tal tänkte Simon på från början?
2x 18  74
2x 18 18  74 18
2x  56
2 x 56

2
2
x  28
Olikhet
2x 18  74
2x 18 18  74 18
2x  56
2 x 56

2
2
x  28
Olikhet
2x 18  74
2x 18 18  74 18
2x  56
2 x 56

2
2
x  28
Olikhet
18  2x  74
18 18  2x  74 18
 2x  56
OBS!
2 x 56

2 2
x  28
OBS!
Problemlösning
Ulla skall blanda en 8-procentig lösning saltlösning, dvs 8% av vikten
ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt.
Hur många gram vatten behövs?
DELA UT!
Problemlösning – lösning 1
Ulla skall blanda en 8-procentig lösning
saltlösning, dvs 8% av vikten
OBS!
ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt.
Hur många gram vatten behövs?
Vi får då följande ekvation:
8% av hela vikten är lika med 12 gram
Detta skrivs med matematiska symboler:
0,08  x  12
0, 08  x
12
12

x
 x  150
0, 08
0, 08
0, 08
Svar: Hela vikten är 150 gram.
Det innebär att det behövs 138 gram vatten.
Problemlösning – lösning 2
Ulla skall blanda en 8-procentig lösning saltlösning, dvs 8% av vikten
ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt.
Hur många gram vatten behövs?
8% av hela vikten är lika med 12 gram
1% av vikten är lika med
12
gram  = 1,5 gram 
8
100% av vikten är lika med 100 1,5 gram  = 150 gram 
Svar: Hela vikten är 150 gram.
Det innebär att det behövs 138 gram vatten.
GENOMGÅNG 3.5
Problemlösning (rep)
Undersök och bevisa
Vinkelsumma
Vinkelsumma
Hörn
Grader
3
180
4
360
??
5
540
??
6
720
??
7
900
??
8
1080
??
9
1260
??
10
1440
??
Vinkelsumma
Hörn
Grader
3
180
4
360
5
540
6
720
7
900
8
1080
9
1260
n
??
Vinkelsumma
Hörn
Grader
n
(n-2) ×
?? 180
Problemlösning
Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande
finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden.
Vilket belopp står under den blå rutan?
Problemlösning
Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande
finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden.
Vilket belopp står under den blå rutan?
3780
264600
(595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975
Kostnad för alla ”Genomsnittlig kostand/bet.tillfälle”
Kostnad för alla avier
Uppläggningskostnad vid första avisering
Problemlösning
Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande
finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden.
Vilket belopp står under den blå rutan?
(595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975
Vad är totalkostnaden för denna bil?
216000 + 4000 + 52975 = 272975
Vad stod det på prislappen?
216000 + 4000 = 220000
Problemlösning
Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande
finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden.
Vilket belopp står under den blå rutan?
(595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975
Hur lång tid löper detta lån?
84 / 12 = 7
Svar: 7 år
Cykelförrådet
Problemlösning - cykelförrådet
En stor förskola har ett förråd, där de har sina cyklar. Förskolan
har både 2-hjuliga och 3-hjuliga cyklar.
Just nu finns det 11 cyklar i förrådet. Tillsammans har de 27 hjul.
Hur många av cyklarna är 2-hjulingar, och hur många är 3hjulingar?
Tvåhjulingar: x st
Trehjulingar: y st
Antal hjul: 2 x  3 y  27
Antal cyklar: x  y  11  y  11  x
Antal hjul: 2 x  3 11  x   27
Antal hjul: 2 x  33  3x  27   x  6
Detta betyder att: x  6 och y  5
Hur kan man kontrollera detta?
Multiplicera in
2( x  3)
2x  6
Multiplicera in
5  (6  3 y )
30  15 y
Faktorisera
2x  6
2( x  3)
Faktorisera
30  15 y
5  (6  3 y )
Uppgift 3521
Parentesregler
Uppgift 3530