Lärarutbildningen
Projektarbete i matematik
Vt 2002
AKTIV MATEMATIK I
TIDIG ÅLDER
Maria Krzeminska
Handledare: Karl-Bertil Hake
Sammanfattning
Syftet med det här projektarbetet är att få veta mer om barns möjligheter i matematikinlärning genom aktiva uppgifter.
Utvecklingsteorier bekräftar att aktiv undervisning särskilt i grundskolan, hjälper barnen att
behärska kunskap som annars är för abstrakt och svår för eleverna.
Hittillsvarande undervisning ledde till att eleverna vid de nationella proven i matematik
klarade sig sämst i uppgifter med problemlösning.
Klyftan mellan Läroplanen och verkligheten är fortfarande för stor, enligt Skolverket.
Många elever räknar med enbart siffrorna utan att fundera över problemet.
För att förbättra elevernas tänkande måste man börja redan i förskolan med att införa
matematiskt tänkande och problemlösning. Forskning visar att de barn där man började
arbeta tidigt med matematik och problemlösning klarade sig bättre i högre klasser och i livet
I det här projektarbetet har jag framställt olika åsikter om hur aktiv undervisning fungerar
och ska fungera i skolan.
2
Sammanfattning
Innehållsförteckning
Syfte och problemformulering
Metod
Utvecklingspsykologi och teorier om kognitiv utveckling och
inlärningsprocess
Förskola och matematik
1. Läroplan i förskolan
2. Forskning om inlärning i förskola
3. Förskoleklassen
. 4.Aktiviteter
Skolan och matematik på lågstadiet
1. Inledning
2. Skolans skyldigheter
3. Skolverkets rapport
4. Forskning om undervisningsmetoder i skolan
4.1.Inledning
4.2.Övergång från förskola till skola
4.3.Skillnad mellan skolmatematiken och vardagsmatematiken
4.4.Förslag till effektivare matematikmetoder
4.4.1.Aktivt arbete i grupper
4.4.2.Laborativt material
4.4.3.Samarbete med andra ämnena
4.4.4.Spel och lek som hjälpmedel
4.4.5.Kreativt arbetssätt
4.4.6.Några förslag till aktiv undervisning
5.Miniräknarens roll för att aktivera undervisningen
6.Dator i skolan
6.1 Pedagogiska program
6.2.Dator i en klass
7.Projekt ”Mathe 2000”….
8 En skola i Danmark.
Slutsatser
Avslutning
Litteraturförteckning
3
2
3
4
4
5-6
7
7
7-8
8-9
9
10
10
10-11
11
11
11
11-12
13
13
13
13
13-14
14-15
15
15-16
16-17
17
17
17
17
18
18
18
19
Syfte och problemformulering
Syftet med det här projektarbetet är att skapa en bild av dagens arbetssätt i
matematikundervisning och nya trender i skolan. På grund av att många elever i
grundskolan har problem med matematiken skall man börja införa den redan i
förskolan. I dag diskuteras mycket kring detta. För att eleverna ska kunna
anknyta matematiken till vardagssituationer samt ska kunna lösa matematiska
problem och tänka logiskt måste arbetssätt i matematik förändras. Den
problematiken vill jag här lägga fram:
Vilken forskning tyder på att metoder i matematikundervisningen är på väg till
förändring?
Vad säger utvecklingspsykologerna om inlärning i matematik i förskola och skola?
Hur ska man arbeta med matematiken i förskolan.?
Hur ska man arbeta med matematiken på lågstadiet i grundskolan?
Vilka fördelar kan eleverna få genom den nya aktiva undervisningsmetoden ?
Metod
Jag har läst en antal böcker och artiklar innan jag bildade mig en uppfattning i den utvalda
problematiken.
Jag visste inte mycket från början om forskning som man gör numera med att förändra
arbetsätt och metoder i matematikundervisning. Jag använde mig av forskningslitteratur,
läromedel, tidigare examensarbeten, olika artiklar och Internet för att hitta svar på mina
frågor.
4
Utvecklingspsykologi och teorier om kognitiv utveckling och
inlärningsprocess.
Jean Piagets teori är den mest populära och användbara fram till idag.
Han skiljer fyra olika stadier i den kognitiva utvecklingen:
Sensomotoriska stadiet .Omfattar åldern 0-2 år. Tänkandet är begränsat till handlingsschema.
Pre-operationella stadiet. Omfattar åldern ca.2-6. år. Representationer. Intuitivt men inget logisk
tänkande .Det mest tänkandet är egocentriskt Barn kan inte tänka abstrakt i matematiken
Konkret operationella stadiet Omfattar åldern ca 6-12. år Systematiskt och logiskt tänkande, men
bara bra i samband med konkreta faktorer.(Man kan börja bygga upp matematiska begrepp men med
koppling till konkret material och situationer).
Formellt operationella stadiet. Omfattar åldern från 12 år. Abstrakt och logiskt tänkande.
Pre-operationellt stadium (ca.2-6 år).
I det stadiet kan barn veta t ex. att 4 + 2 = 6 men de kan ha svårt att begripa att 6 – 2 = 4.
De kan inte heller göra de logiska matematiska operationerna. I slutet av det stadiet kan barn förstå
begrepp:
- antal ( antalet enheter förblir detsamma även om enheterna arrangeras på ett annat sätt)
- mängd ( mängden av tex. lera förblir densamma även om formen ändras).
Det mest karakteristiska här är tendens att tänka enbart på en idé i taget. Barnens tänkande är intuitiv
och subjektiv och ”styrs av hur saker och ting ter sig snarare än av bakomliggande principer. Om
solen skiner in genom fönstret är det dags att gå till dagis” ( Hwang, Nilsson 1995 sid.159)
J. Piaget och L Vygotskij betonar vikten av språklig utveckling och hela tänkandeprocessen för att
begripa omvärlden och kommunicera med varandra..
Leken är här barnens bästa sätt att bearbeta sina tankar, kunskap, fantasi, lösa problem hantera
relationer, identifiera sig, kommunicera och uttrycka sina känslor. Leken är barnets värld.
Konkret operationellt tänkande. (ca 7-12 år)
Barnen i den åldern kan resonera med allt de möter och förstår principer.
I det stadiet förstår barn följande matematiska begrepp:
I åldern 7-8 år:längd (längden av ett snöre förblir detsamma, även om snöret läggs på annat sätt)
I åldern 8-9 år: yta ( den totala yta som täcks av ett antal figurer t ex. kvadrater , förblir detsamma,
även om figurerna ändrar läge.)
I åldern 9-10 år: tyngd ( tyngden av en föremål förblir desamma , även om man ändrar dess form)
I åldern 12-14 år: volym (det utrymme som ett föremål tar i anspråk förblir detsamma oberoende av
om dess form förändras)( Hwang, Nilsson sid.161)
Barn lär sig snabbt utan större problem i den åldern. De klarar att tänka logiskt och objektivt om man
bara inte ställer för stora krav. Men för att lyckas, måste de ha tillgång till konkret material eller en
konkret händelse. Barn börjar resonera rätt kring allt vad de möter men för att tänka abstrakt behöver
de fortfarande tillgång till något konkret eller något som ligger nära i deras omgivning för att ha
möjlighet att hantera det. I den åldern förbättras också förmågan att samtidigt se olika egenskaper hos
objekt, personer eller händelser. De förstår att 11 + 3 = 14 men också att 7 + 7 = 14 och att 14 – 3 =
11. (Detta kalas övergång från konservation till reversibilitet d v s en förändring från ett håll till andra
men tvärtom också).
5
Barn har i den åldern förmågan att tänka på föremål i termer av kategorier eller i klasser. De kan
sortera och klassificera enligt vissa kategorier och regler . Barn kan dra slutsatser att A = C ( om de
vet att A = B och B = C), men endast under förutsättning att A, B och C är konkret representerade.
Barn i årskurs 1 räknar ofta med fingrarna och tänker mycket när de adderar, men de blandar ofta tex.
15 och 51.
Den senaste forskningen om barns utveckling visar att de konkreta operationernas stadium kan vara
tidigare än Piaget trodde och kan variera mycket individuellt. Barn är aktiva, nyfikna i sin inlärning
och de lär sig bäst genom att utforska och prova. ”Piaget menade att barnen skulle kunna lära sig
saker i skolan på ett betydligt bättre och effektivare sätt om de aktivt fick prova sig fram med olika
typer av uppgifter. Låt dem t ex. räkna med hjälp av klossar, mäta avstånd på skolgården, odla växter
osv.” ( Wang P Nilsson B.1995. sid. 215). Skolan föredrar ofta att ”utgå från inlärningsteori än från
kognitiv teori i den praktiska undervisningen. Det innebär att man betonar yttre förstärkning som
viktigare än inre motivation. Det finns en tendens att man vill ha passiva barn, eftersom det är lättare
att hålla ordning då man ger sin förstärkning och ordnar uppgifterna i en logisk sekvens , från det
enkla till det svåra.”(Wang P, Nilsson B 1995. sid.215).
Enligt Piaget är det mycket viktigt hur barn tänker ( hela processen) och vad de tänker.
Lev Vygotskij betonar mycket mer än Piaget språkets betydelse i utveckling och att vuxna har stort
ansvar för att hjälpa barn i deras inlärningsprocess.
Oberoende av vilken teori om utveckling vi tar som utgångspunkt, så är alla i stort sett överens om att
barn lär sig bäst genom lek, aktiviteter, praktisk arbete och konkreta vardagssituationer. Barn lär sig
med alla sina sinnen.
Idag finns nya teorier som påstår ” att barns färdigheter har större samband med erfarenheten än med
ålder. Följaktligen kan uppfostrings- och undervisningsmetoder vara av enormt stor betydelse.
Barn uppmuntras idag till att utveckla avancerade färdigheter tidigare” .( (Malmer .G. 1990 sid. 18)
6
Förskola och matematik
1. Läroplan i förskola.
Förskolan har fått sin första läroplan (Lpfö 98) och i den står det:
Förskolan skall sträva efter att varje barn
-utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang,
-utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form
samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum.
Arbetslagen skall…
-stimulera barns nyfikenhet och begynnande förståelse av skriftspråk och matematik.
2. Forskning om inlärning i förskola.
I förskolan börjar barn sitt livslånga lärande. I den tidiga åldern är det mycket viktigt på vilket sätt
man börjar införa matematik.
De svenska förskolan var starkt påverkad av Fredrich Fröbels idéer. Fröbel utarbetade ett
byggmaterial som hade till syfte att utveckla barns logiska och matematiska tänkande. Temaarbete
var populärt inom förskolan på 70 talet och hade sin grund i Fröbels teori om koncentration och
uppmärksamhet.( Fischer. U, Madsen B.L.1990 sid.8). I temaarbete utgick man från konkreta
material för att barn skulle känna igen problemet.
Barn engagerar sig och är mer upptagna i sitt arbete när de har möjligheten att ta ett verktyg som t ex
pincett, lupp eller liknande för att hantera material genom sina händer. Piaget kallar detta
”fingerintelligens.”
Stor betydelse har själva leken, lekmaterial, miljö och relationer mellan lärare och barn. I förskolan är
det tradition att använda sig av vardagens situationer och möjligheter.
Barn lär sig nya saker ofta genom lek, aktiviteter och spel. Leken fyller flera olika funktioner. Genom
leken utvecklar barnet sin tankeverksamhet, fantasi och lär sig samarbeta med andra. I leken
bearbetar barn sina upplevelse och befäster sin kunskap.
Barn tycker om matematiska lekar och spel och att lära sig regler och samtidigt ha roligt. De
koncentrerar sig och upprepar fakta ganska ofta. En rätt vald lek kan vara som ett vanligt läromedel.
Leken kan fungera som ett stöd vid inlärningen. Från det perspektivet måste man på bästa sätt locka
barns intresse och som pedagog införa matematiska begrepp och idéer på ett smidigt sätt. Barn i
förskolan ska ha det grundläggande begreppen i matematik enligt nya läroplanen. Personal har tyvärr
ofta bristande kunskap på det området. De flesta har inte studerat under sin utbildning på vilket sätt
små barn kan erövra matematiken .Tills en ny läroplan kom var det oftast normala vardagssituationer
som hade förekommit kring matematiken.( Matematik från början , Ahlberg. A. sid.)
Viktig är att ”barn får intresse för att börja uppfatta matematik som något som har med deras värld att
göra” ( Doverborg E, Pramling Samuelsson I sid.9) ” Lek och lekfull är en viktig dimension i barns
lärande. När barnen utforskar och försöker förstå sig själva och sin omvärld sker det oftast genom
lek. Det går därför knappast att skilja lek från lärande. När barnen ägnar sig åt rollek, regellek,
konstruktionslek eller annan lek utvecklar de tankar och hypoteser som de prövar själva och/eller
ihop med andra. När barnen konstruerar med hjälp av olika material eller bygger sina lekmiljöer
utvecklar de förståelse för en rad grundläggande funktioner. Att förstå rummets egenskaper är
grundäggande för förståelse av matematik. Begrepp som närhet, avstånd, tyngd, balans, längre än,
högre än , snett, lagar som tyngdkraft med sand, vatten, klossar, brädor, stenar, kuddar för att göra
7
olika konstruktioner , behärskar barn ofta genom lekar. I barnens vardag finns många tillfällen som
kan användas för att öka deras matematiska förståelse. Genom att på ett lekfullt sätt få barn att
uppfatta och uttrycka antal, att ordna, sortera och jämföra efter storlek, vikt, volym och längd, att
kunna skapa olika mönster, och enklare geometriska former, upptäcker barn matematiken. Det är
vuxnas uppgift att ge barn teknisk hjälp som färger, lera , saltdeg, vatten, böcker, byggmaterial o.s.v.
Genom att behärska matematiska begrepp till en del av sin erfarenhetsvärld, utvecklar barn sitt
matematisk språk.” (Doverborg E Pramling Samuelsson I sid.9-10).Ofta inleder man matematik i
förskolan genom samtal t ex. vid samling eller organiserar speciella situationer för lärandet. ”Om
man arbetar systematiskt och medvetet med små barn, kan man utveckla deras räkneförmåga rätt
tidigt” skriver E.Doverborg och I. Pramling Samuelsson som också praktiskt experimenterade på
olika förskolor. Deras resultat var att barn i en förskola pratade med varandra med matematiska
termer efter avslutat projekt.
När man arbetar med olika aktiviteter i förskolan ska man lära barn olika begrepp som har stort
betydelse i matematiken som t ex.: lika- olika, långa, breda , ökning, minskning ,hälften, halv, hela,
idag om en vecka, nästa dag. Dessa begrepp måste alltid ha praktisk bekräftelse i den åldern
(”Matematik från början” s.123). Man kan införa inlärningsprocessen i matematiken på ett konkret
och intressant sätt. När barn i en förskola arbetade med tema ”Höns”, lärde de sig att räkna till 13,
därför att det var 13 levande höns på deras förskola. När de ritade sina höns i originalstorlek, mätte
de hönornas hals för att lyckas med proportioner och sen räknade de hur mycket ägg de fick per
dag, barnen började fundera själva hur många ägg ger en höna per dag, eller hur mycket ägg behöver
man till en sockerkaka och så vidare.
Idéerna är många , bara man är medveten om att barn behöver ha stimulans till att utveckla sitt
tänkande och sitt språk. (E. Doverborg,I. Pramling Samuelsson 1999 sid.3).
Matematikbegrepp hos barn i den åldern sker som en ” sammanflätning ” från olika håll. Barn
behöver tid att bearbeta sina tankar. De behöver återkomma till sitt arbete från olika perspektiv och
upprepade gånger .Barn kan bekanta sig med olika termer som rätblock, cylinder, prisma, kon,
triangel, kvadrat genom aktiviteter och genom material som förskolepersonalen skall organisera. De
kan bygga olika mönster med klossar, femhörningar, sexhörningar, cirklar, kvadrater, trianglar.
Barn skiljer de geometriska formerna och kan beskriva de som: oval, rak, avlång, spetsig, trubbig,
hög, låg, bred, smal och så vidare. ( Furness A. 1992.sid 12)
3.Förskoleklassen.
Ett omfattande projekt som heter ” Att möta matematiken i förskolan” redovisas i rapporten ” Rita,
tala, och räkna matematik”. Syftet med det projektet var att undersöka hur sexåringar lär sig
matematik och att studera förskolan som undervisningskultur med syftet att utveckla vissa metoder.
Barnen har involverats i problemlösande aktiviteter som de mött på ett naturligt sätt. Temat var
”Trädet” och projektet omfattade ett helt år. Aktiviteterna var ofta ute i naturen och följde årstiderna.
Barn samlade naturmaterial som utgångspunkt i sitt arbete. Projektledare var Ann Ahlberg doktor i
pedagogik. I hennes forskningsrapport står:” Resultaten visar att det finns stora möjligheter att
synliggöra matematiken för sexåringarna och att det bjuds ett otal tillfällen där matematik på ett
naturligt sätt kan uppmärksammas i anslutning till temaarbetet i förskolan. Inom ramen för
temaarbetet med ”Trädet” har läraren skapat en mängd varierande inlärningssituationer för att
utveckla barnens matematiska förståelse. Barnen har enskilt och i grupp ställts inför olika uppgifter
och problem, där de har fått tillfälle att samtala och reflektera över olika matematiska aspekter av
undervisningsinnehållet. Matematik som ett naturlig sätt har uppmärksammats inom temats ram är
bland annat storlek, form och geometriska begrepp, mätning, antal, uppskattning och talbegrepp.”
(Pedagogiska Magasinet 2/97). Senaste jämförelsen med andra barn som inte var delaktiga i det
projekt visade att barn som var i projektet klarade sig betydligt bättre sedan i skolan.
8
I den åldern har språket stor betydelse. Följande ordgrupper ska man inleda med benämningar (t ex.
som form, storlek, utseende etc.), jämförelseord , instruktionsord och faktaord” ( Malmer.1990
sid.100)
4. Aktiviteter.
Matterum. På vissa förskolor hade personalen skaffat ett speciellt matterum med material som
inspirerar till mattelekar som balansvåg, knappar för sortering och räkning.( Nämnaren nr.4. 2001)
En affär.
Man kan uppmuntra dem med lämpliga leksaker och konkret material för att affären ska börja
fungera. I den leken är det mycket lätt att införa en matematiktänkande process som addition,
subtraktion, multiplikation , division och en massa annat till sorterig, klassificering plus att barn i den
leken löser olika problem som de ofta hittar själva. Detta är en populär lek också i skolan
.Måltavla - barn kastar och räknar sedan poäng .
Samla naturmaterial ute i parken eller i skogen t ex. stenar, kottar, kastanjer, pinnar och sedan
arbeta med dem på olika sätt.
Väder. Man kan observera väder under tex. en vecka och göra en tabell med antal soliga
dagar eller regniga dagar. Man kan diskutera hur man ska markera dagar som är halvmolniga
dagar eller ostadigt med tex. sol och regn. Hur ska man markera dagarna när det blåser hårt
eller det är måttlig vind? Man kan mäta temperaturen under en period och sen diskutera om
skillnader mellan de kallaste och de varmaste dagarna i veckan. Man kan försöka förklara
begrepp som medeltemperatur och mittpunkt på det sättet.
9
Skolan och matematik på lågstadiet
1.Inledning.
Matematiken är kunskap som man använder på många områden. Genom kombinationer med
tal, mätning och form lägger man underlag till nästan alla viktiga kunskapsområden i vår
omgivning. Matematiken är ett prioriterat ämne i skolan därför måste man lägga stor vikt vid
att ge upphov till logiskt tänkande hos barn.
På vilket sätt man ska organisera undervisningen är en fråga som många forskare diskuterar
idag och försöker visa den bästa lösningen för att förbättra situationen i grundskolan.
Idag har lärare och elever större möjligheter att välja undervisningsmetoder som är lämpligast
för att utveckla och belysa matematik i skolan. På 60- och 70- talet var det stark
läromedelstyrning från statens sida med behavioristisk teori och Burrhus Frederic Skinner
teori i spetsen. Efter decentraliseringen införde man individualiserad undervisning som var
anpassad till varje elevs nivå. Detta ledde till att tyst räkning i skolan började dominera och
dominerar i de flesta skolor tills idag.
Det senaste 10 åren har man diskuterat att man måste ändra arbetsätt i matematikundervisningen och den nya trenden är mycket tydlig i den forskning som bedrivs inte bara i
Sverige utan i andra länder också.
2. Skolans skyldigheter
”Skolan skall sträva efter att varje elev…
tillägnar sig goda kunskaper inom skolans ämnen och ämnesområde, för att bilda sig och
få beredskap för livet,”
”Skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola är att eleven
behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.”
”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna
utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna
förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer.”
förstår och kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder.”
inser värdet av och kan använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer.”
förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt att
muntlig och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.”
utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik
samt att tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga
problemsituationen.”
10
utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritisk granska
modellernas förutsättningar, begränsningar och användning”
utvecklar sin förmåga att utnyttja miniräknarens och dators möjligheter.
Skolverkets rapport
I Skolverkets rapport nr. 61 redovisas hur elever i årskurs 9 har löst standarduppgifter och
grunduppgifter år 1992. Rapporten visar att många elever har svårigheter att lösa problem av
mer komplex natur och att de är ovana att arbeta med och redovisa gruppuppgifter.
”Att en fjärdedel av eleverna inte når upp till minimikraven i varje ämne är ett misslyckande.
En skola med skolplikt ska ge alla elever möjlighet att nå målen. Klyftan mellan läroplanens
ambitioner och verklighetens resultat är alldeles för stor. ” ( Från Skolverkets rapport 2002–
Internet Skolverkets hemsida).
Under den senaste matematikbiennalen i januari 2002 diskuterade man de stora satsningar
som regeringen och Skolverket gör i skolan och som gäller främst
kompetensutvecklingsprogrammet för lärare.
Forskning om undervisningsmetoder i skolan.
4.1 Inledning
”Det är hög tid att bryta synen på matematikämnet som enbart träning av vissa
räknefärdigheter och procedurer. Matematikundervisning är mycket mer än att lotsa elever till
formellt acceptabla lösningar med fixering på facitsvar. Elevers erfarenheter, inflytande och
inlevelse kan underlätta för lärare och integration med andra ämnen och ge förståelse för
matematikens natur och användning” (Pedagogiska magasinet 2/97 sid.47).
I de flesta skolor dominerar fortfarande tyst räkning och sen gemensam genomgång av uppgifterna.
Det är inte möjligt att genom det arbetssättet argumentera och diskutera sina tankar och lösa
problem. Abstrakt undervisning skapar stora problem för de elever som inte har den nödvändiga
mognaden.
De flesta eleverna arbetar enskilt med uppgifter i läromedel och tränar sina färdigheter tyst. Att träna
räknefärdigheter är viktigt i undervisningen men tyst räkning kan inte vara det huvudsakliga inslaget
vid matematiklektionerna på lågstadiet.
”barn måste få utgå från sin egen förståelse och därifrån successivt utveckla sitt tänkande. I annat
fall kan det uppstå diskontinuiteter i barnens tankevärld, vilket gör att de tappar förankringen i sitt
tidigare vetande” skriver Wiggo Kilborn i sin artikel ”Subtraktion -tänkande och sätt att räkna.” (Tal
och räkning 2. sid. 15). Han påpekar i sin artikel också att man lägger större krav på arbetsminnet än
på själva tänkandet.
Man kan inte påstå , att den nya metoden med individualisering i matematik har misslyckats.
Vårt samhälle ställer stora krav på matematiskt kunniga personer, därför är självständigt och logiskt
tänkande viktigt. Tyst arbetsätt har sina fördelar men man måste satsa mer på den del av matematiken
som kan förbättra logiskt tänkande och problemlösning och att undervisningen leder till förståelse i
själva räknandet
1997 skrev Skolverket i en kommentar till skolmatematiken att man måste gå:
”Från regelstyrda räknefärdigheter och regelstyrd problemlösning till utveckling av elevers tänkande
och resonerade i matematik för att upptäcka , utforska och befästa i meningsfulla sammanhang.”
11
” Skolans matematikundervisning står idag, mot bakgrund av betydande samhällsförändringar, inför
nya och utmanande uppgifter. Det måste få konsekvenser för såväl ämnets innehåll som det sätt på
vilket undervisningen utformas.” ( Pedagogiska magasinet 2/97) skriver Ulla Runesson.
Ulla Runesson, lärarutbildare och doktorand i pedagogik menar att det bästa hade varit att ge en
inriktning mot vardagsmatematik. Matematikens innehåll borde vara mer öppet och flexibelt där
problem tillåter olika tolkningar och arbetsformer. Grupparbete och arbete i par är exempel på sådana
arbetsformer där eleverna kan hjälpa varandra genom kommunikation och diskussion. Man kräver
också att arbeta mer med konkret, laborativt material. Eleverna arbetar gärna på det sättet t.o.m. de
svaga eleverna engagerar sig mer. För mycket information utan förståelse är för barn obegriplig och
främmande. Bl.a. av detta skäl bör en laborativ och undersökande arbetsform dominera över
matematikundervisningen.
En grupp amerikanska lärare lyckades få en bättre inlärningsmiljö i sin undervisning. De gick ifrån
realistiska tillämpningar när de introducerade nytt material i matematik. ( Nämnaren nr.2 1996)
Boken ”G- Matematik” som är skriven av de två svenska lärarna P. Berggren och M. Lindroth är
exempel på en nytt arbetsätt i matematiken med ett stor framgång i slutresultatet.
Idag kan man välja olika aktiviteter och idéer som uppfyller vissa funktioner.
Lärare skall ta hänsyn till elevernas kunskap, erfarenhet och deras sätt att tänka .Detta är
utgångspunkt vid varje aktivitet och varje uppgift. Arbetssättet ska vara anpassat till elevernas behov
och situation för att vara stimulerande, lustfyllt och meningsfullt. Aktiviteterna ska förstärka deras
kunskap, leda till bättre utveckling och förståelse av matematiska symboler. Eleverna ska ha
möjligheter att anknyta matematik till verkligheten och därför är det viktigt att eleverna har en
konkret modell , material från sin närmaste omgivning att arbeta med för att granska , upptäcka och
hitta olika lösningar och mönster.
”Barn har rätt att få upptäcka det roliga och stimulerande i matematiken .Det traditionella sättet att
lära matematik tråkar ut dem. Barn utsätts tidigt av ett slags intellektuell misshandel, där deras sätt att
tänka kvävs,” skriver Inger Wistedt, docent i pedagogik.( Pedagogiska magasin nr. 2 )
I matematikundervisning använder man sällan konkret material skriver Karl Henrik Eriksson i
artikeln ” Om barns förmåga att bilda begrepp” ( Matematik ett kommunikationsämne s.54).I de
högre klasserna är det mycket vanligt att införa abstrakta matematiska symboler genom verbal
beskrivning men de små barnen behöver konkret material för att bilda sina begrepp i matematiken.
Konkret material med upptäckande arbetsätt ger bättre effekter än vanligt förklarade undervisning
Särskilt viktigt är detta på lågstadiet i skolan för att lyckas med matematik. Bekräftelse på detta kan
vi påträffa hos alla utvecklingspsykologerna.
4.2.Övergång från förskola till skola
”Övergång från förskolan till skolan är från början spännande men snabbt försvinner den känslan.
Barn upplever ofta att skolan är ett tvång och matematik är för att så fort som möjligt hitta rätt svar.
Matematiska symboler och räknesätt skiljer sig också från deras erfarenheter och upplevelser .
Många barn vet t ex. att om de har fem kronor och köper godis för två kronor så har de tre kronor
kvar. Men att räkna 5 – 2 = 3 med matematiska symboler, det kan de inte. Problemet är att ”
undervisningen oftast inte tar sin utgångspunkt i barnens värld utan matematikens och skolans krav
på specifika lösningsmetoder och tabellkunskaper” (A. Ahlberg 1995.sid 11 )
Detta är en svår övergång för barn och ofta stämmer detta inte med deras sätt att tänka.
12
”Skolan skulle i stället ägna sig i större utsträckning åt problemlösande aktiviteter så att den
förståelse av matematik som barn redan har tillägnat sig tas tillvara och utvecklas” (A.Ahlgerg 1995
sid.14).Aktiviteterna i den åldern har stor betydelse för att hjälpa barn i deras utveckling. Mycket
viktigt är hur man planerar och hur man vill utföra aktiviteterna . Reglerna ska vara tydliga för att
barn ska ha klar uppfattning om problemet.
Taluppfattning är det första begrepp som barn på lågstadiet måste behärska för att den är viktigaste
förutsättningen för effektiv huvudräkning.
4.3.Skillnad mellan skolmatematiken och vardagssituationer
Det finns en stor klyfta mellan skolmatematiken och matematiken i vardagssituationer. Ofta har
eleverna svårt att koppla ihop sitt kunnande från skolan med vardagssituationer. Idag har man tagit
initiativ som syftar till att skapa broar mellan problemlösning och vardagen (A. Ahlberg 1995
s.28).Man arbetar i arbetslagen och ofta kopplar man ihop matematik med bild, slöjd , hemkunskap,
gymnastik eller med fritidsverksamhet. Eleverna borde möta matematiska problem från varierande
håll och tillsammans med andra diskutera, reflektera över det, för att begripa stoffet.
Samspel mellan barn och vuxna är en nödvändighet i undervisningen i den åldern. Barn måste
kommunicera för att hitta olika möjligheter.
Det viktigaste för utvecklandet av medvetenheten är det matematiska samtalet mellan barnet och
läraren ”( Ljungblad A.L.2001 sid.105).
Om man visar för elever att det finns samband mellan olika situationer kommer de att bättre lära sig
och uppfatta nya matematiska begrepp Detta leder förhoppningsvis till att genomgång från konkret
material till abstrakt tänkande i senare klasser kommer att lyckas.”
4.4.Förslag till effektivare matematikmetoder
4.4.1. Aktivt arbete i grupper
Att arbeta i grupper är en effektiv metod. Barn vågar diskutera sina förslag, försvarar och formulerar
problem och lösningar. Samarbete i gruppen varierar beroende på problemet. Gruppens storlek beror
på uppgiftens omfattning. A. Ahlberg ger några tips på hur en bra grupp ska fungera: ”gör små
grupper med högst 4 elever, ta hänsyn till elevernas kunskap och personligheten vid
gruppindelningen, låt de samarbeta under en längre tid i samma grupp”.(Ahlberg.A.1995)
4.4.2 Laborativt material
Man kan få hjälp av speciellt laborativt material som finns i skolan.(Cuisinaise färgstavar, domino,
kort tärningar) Viktigt är att barn har olika typer av material för att de inte ska fastna i sitt tänkande.
Laborativt material kan förstärka elevernas tänkande och förståelse.
I sitt examensarbete skriver Affan Dagasan att det finns tyvärr ”ett svagt intresse för laborativt
arbete” i skolan idag.
4.4.3 Samarbete med andra ämnen.
”Den inledande matematikundervisningen bör inriktas mot problemlösande uppgifter som har
anknytning till barnens kunskap och erfarenheter” skriver Ann Ahlberg i ”Matematik från början”.
13
Hon forskar mest om hur barn förstår matematiska problem och hon försöker att förändra
undervisningen så att eleverna intar ett mer reflekterande förhållningsätt till skolmatematiken.
I sin doktorsavhandling studerade hon bland annat hur matematikundervisning på lågstadiet kan
förändras genom en ämnesintegration med svenska och bild. Hon understryker ofta att det viktigaste
är processen i tänkande. Under sin forskning med olika barngrupper var det mest tillfredställande
att de lågpresterande eleverna också hade gynnats. I det gamla systemet hade de inte klarat sig ,
menar A.Ahlberg . (Pedagogiska Magasinet 2/97) .
För att befästa barnens kunskap och förstärka inlärningsprocessen , kan man som hjälp koppla andra
ämnen i undervisningen med olika aktiviteter i skolan som t ex. slöjd, bild,.
Svenska.
Med språket utökar barnen ordförråd och terminologi.
Slöjd
Det här är en naturlig koppling mellan teori med praktik. Man utvecklar sitt tekniska
kunnande och den här verksamheten finner inte gränser mellan matematik och slöjd.
” Eleverna snickrar locket till ett skrin och ska sätta på en knopp. Hur hittar man
mittpunkten? Där kan eleven själv komma på att man drar linjer diagonalt från varje hörn. Det
är matematik! (Pedagogiska magasinet 3/2001 sid.16)
Fritidshem och skolan
Idag samarbetar skolan med fritidshem i arbetslag. Det finns tydlig skillnad i pedagogiken på
fritidshem och skolan men de ska vara skilda och inte smälta samman. ( I Carlgren sid.80 )
På fritidshem arbetar barn frivilligt i ett naturligt sammanhang utan formellt krav på lärande.
Här kan man skapa autentiska aktiviteter i vilka barn visar sitt intresse med autentiskt
hjälpmedel. I skolan är lärandet mycket symbolbaserat. På fritidshem framträder mest
konkreta situationer och spontant lärande. På fritidshem kan man tillsammans med skolan
organisera aktiviteter som befäster barnens kunskap i matematik.
4.4.4. Spel och lekar i undervisningen.
Man kan införa olika matematiska spel och lekar som kan vara till stor hjälp mycket för att barnen
skall lyckas med matematiken. Det finns olika hjälpmedel som tärningar, dominobrickor, spelkort
för att träna minnet. I. Olsson i artikeln ” Att skapa möjligheter att förstå” (Nämnares Tema .”
Matematik från början ”) ger konkreta exemplar på olika aktiviteter och på olika spel vilka man
kan tillämpa i undervisningen .Genom olika slags spel och aktiviteter tränar eleverna huvudräkning
på ett annorlunda sätt.
Några exempel :
Vem är jag? ( Tal och räkning. Sid. 51)
Mål: man tränar taluppfattning till 100. ( olika variationer beroende av åldern )
Lärare tänker på ett tal från 0 till 100. Och eleverna gissar på olika sätt tex. den är större
eller mindre än …
14
Olika tärningar –vanlig tärning, tärningar märkta 0-9 eller 1-20, decimaltärning,
bråktärning, decimaltärning och bråktärning. Kortlekar, och dominobrickor. ( ”Tal och
räkning” sid. 52)
Boken ” Mattelekar ”Peggy Kaye 1994. ( I den finns 56 olika lekar, spel och aktiviteter )
Man kan uppmuntra föräldrarna att använda spel och lekar.
4.4.5. Kreativt arbetsätt
Gudrun Malmer i sin bok ” Kreativ matematik” ger förslag ”till mera elevaktiverande arbetssätt ”
Detta är inte en lätt uppgift. Den är mer krävande och man behöver mer tid för planeringen för att
lyckas.(Malmer1990.sid.93).
Nya sätt i matematikundervisning behövs och därför måste man införa ganska genomgripande
förändringar som t ex.:
- Läroboken mister sin styrande roll och blir ett hjälpmedel bland andra.
- Aktuella händelser kan lättare utnyttjas och bearbetas.
- Eleverna får delta i planering, ge uppslag och insamla arbetsmaterial.
- Ett laborativt och undersökande arbetssätt får större utrymme.
- Eleverna får bearbeta stoffet i den takt deras förutsättningar medger.
- Tid anslås till utvärdering av gruppens arbete och individuellt arbete.
- Diagnostiska uppgifter och prov av olika slag används mera individuellt och inte för hela klassen
samtidigt.” (Malmer.1990 sid.94).
G. Malmer som är en mycket erfaren pedagog och var själv delaktig i olika projektarbeten ( GUMA
Projektet i Malmö tex. ) ger i den boken en förteckning över material som man kan ha stor nytta av
i elevaktiverande arbete ( sid.150). Två andra böcker av G. Malmer ” Teoridel ”och ”Praktikdel”
innehåller många intressanta idéer till att göra matematik ett levande ämne .Hon hänvisar till olika
slags hjälpmedel för att eleverna bättre ska förstå olika moment i matematiken. Särskild i Praktdel”
finns förslag till olika aktiviteter och övningar. Hennes uttryck är :” logisk tänkande är
matematikens framtid”.(Malmer.1990 sid.6 ).
4.4.6. Några förslag till aktiv undervisning:
Geometri är en del av matematiken som man på ett praktiskt och aktivt sätt kan införa i
klassrummet.
Barn lär sig geometri bäst när de ser samband med livet. Det är viktigt att barn först känner igen
geometriska figurer i sin omgivning, sen kan de analysera egenskaper och nästa steg blir det
abstrakta tänkandet.( Geometri och statistik 1991)
Ett praktiskt exempel på hur man kan undervisa i aktiv geometri skildrar L .Emanuelsson i sin
artikel ”Ett arbetsområde i Geometri” ( Geometri och statistik 1991)Man kan börja med det närmaste
området t ex. i parken, skogen, gården och så vidare. Viktigt är att barn känner igen olika figurer
och former som tex. trianglar, rektanglar, kan skilja symmetriska och icke symmetriska figurer och
kan jämföra dem. I klassen ska man sortera saker efter egenskaper, efter storlek, färger och så vidare.
Nästa steg är att barn kan rita, beskriva likheter, skillnader, mönster. Det finns otaliga möjligheter
att låta eleverna arbeta med geometri i skolan med kreativ och upptäckande inriktning.
”Matematik G” skriven av Per Berggren och M. Lindroth.
Två matematiklärare utarbetade sitt eget sätt att lära mattematik. Huvudtyngden är på
problemlösning, fantasi, kreativitet och kommunikation. Varje temaarbete omfattar mellan 1
till 4 veckor. Om man undervisar i matematik på detta sätt blir eleverna mycket mer
engagerade i sitt arbete t o m. de svaga eleverna klarade sig betydligt bättre.
15
I klassrummet hänge deras lösningsstrategier som gäller vid varje tema:
-gissa och prova
-leta efter mönster
-rita en bild, graf, ett diagram
-lösa ett liknande men enklare problem
-spela upp problemet ( dramatisera)
-göra en modell
-göra en lista eller tabell
-göra en matematisk uppställning
-arbeta bakifrån
Eleverna arbetar i par eller i grupp. Genomgång av temaarbetet gör man med hela klassen.
Skogen i skolan. Detta är ett projekt som görs på initiativ från Smal ( www. Smal-matte.com) och
Skogen. Målet är att ”utveckla befintliga och nya uppgifter där skogen används för
matematikundervisning”
”Detta betyder att: arbeta i ett sammanhang, samla data, organisera, strukturera data, kommunicera,
diskutera, söka och se mönster, använda tidigare färdigheter och kunskaper, ställa upp hypoteser och
pröva dessa, lösa problem och formulera ett nytt problem ”. I det här projektet kan man hitta lämplig
matematik till varje årskurs och anpassa till sitt behov i klassen.
Tema : Vädret
Vädret är ett tema som man kan arbeta aktivt med redan från förskola. Man kan bedriva
vissa lektioner utomhus, göra indirekta observationer och sen bearbeta samlad information
till matematiska symboler och mönster.
Man kan börja att bygga sin egen väderstation. Hur man gör en nederbördsmätare och en
mätare för vindriktning och hastighet kan man hitta på Internet .Adress:
weather.alk.edu.stockholm.se ( där finns också mycket intressanta fakta om
meteorologi).Man kan göra sin egen barometer och rolig luftfuktighetsmätare av en kotte
(Meteorologi för grundskolan sid.27) . Man kan göra molnobservationer och sen rita i en
cirkel som visar hur stor del av himlen som är täckt av moln och samtidigt diskutera om
begrepp: hel, halv, en tredjedel eller en fjärdedel.
Genom att mäta temperaturen, luftrycket och andra meteorologiska fenomenen kan barn
samla information under t ex. en vecka eller en månad och sen bearbeta den till sin egen
statistiskkälla för vidare bearbetning. Man kan göra väderanalyser och sen framställa
resultatet på många olika sätt tex. som bilder, ritningar eller diagram.
Tema: En affär.
Aktivitet redan från förskolan.
I flera skolor finns affärshörnan för att barn ska ha möjlighet att när som helst ha tillgång till
materialet. Man kan införa alla matematiska begrepp genom den aktiviteten från mycket
enkla till mer komplicerade räknesätt.
5. Miniräknarens roll.
De flesta lärarna vill att barn först lär sig algoritmerna och sen räkna med minräknare. Men en del
lärare är mycket positiva till miniräknare redan i årskurs 1. De säger att i stället för att räkna kan man
arbeta mer med laborativa och problemorienterade uppgifter. ( Anderberg. B.1991)
RIMM –Projekt (1972-1982) om miniräknare i skolan visade att eleverna som hade tillgång till
miniräknare var bättre i problemlösning uppgifter. (Tal och räkning sid.138).
16
6. Dator i skolan.
6.1. Pedagogiska program
Datorn är ett aktivt hjälpmedel i klassrummet i alla stadier. Det finns ca 400 olika pedagogiska
program som man kan utnyttja i undervisningssyfte. Man måste anpassa datorn till sina behov. De
mest kända är :
- Räknegrottans program till låg och mellanstadiet elever. Den kan förbättra talbegrepp ,heltal,
bråk, negativa tal, decimal, tiopotenser . Läraren kan själv välja svårighet och tal.
- Logo program – geometriundervisning, särskilt i vinkelbegrepp.
- Tallek Mer informell kunskap.
- Chefrens pyramid. Program för att befästa grundläggande matematiska begrepp.
- Internet.
6.2. Dator i en klass.
Håkan Ljunggren som är lärare , anser att det är svårt att anpassa färdigt material till elevernas
intresse och samtidigt följa andra aktuella ämnen med problemlösning. Han arbetar mycket med
dator i olika sammanhang och har anpassat programmet till varje enskild elev. Han använder
program för individuell färdighetsträning av de fyra räknesätten. Programmet är för honom ett
verktyg som underlättar och förbättrar resultat i själva inlärningsprocessen med eleverna på olika
sätt och gör lektionerna mer attraktiva. Han vet alltid var varje enskild elev befinner sig i sin
räkning och utveckling. Eleverna och lärare lagrar sitt material i datorerna. Via Internet hittar man
nödvändigt material som texter, bilder, film, musik som eleverna är intresserade av och som de vill
arbeta med. Engagemanget är stort i klassen.( Nämnaren nr 4 200)
7. Projekt Mathe 2000 :
Matematik genom upptäckande i Tyskland och Amerika.
I Tyskland inledde man ett stort didaktiskt projekt i matematik. ”Genom småstegprincipen till den
upptäckande inlärningen vår karakteristisk är att elevens egenaktivitet och självansvar står i centrum
liksom den naturliga nyfikenheten och upptäckarglädjen” skriver man i Nämnaren nr.4.2002.
Liknande projekt pågår numera i USA. De båda centra i matematikundervisningen har samma syfte.
Eleverna står i centrum och har hela tiden tillgång till lärarna och det nödvändiga materialet.
När barn ska undersöka matematik med naturligt innehåll är det lättare att komma fram till
lösningen. Sjuåringar kan lätt hantera talen 0-20 om man ställer rätt fråga som t ex.: Hur många
knappar finns i de två burkarna?
I det omfattande projektet ingår också experiment där barnen använder spel och lekar för att finna
lekstrategier.
Bland annat arbetar man i det projektet speciellt med att barn själva ska kunna hitta tankemönster
i t ex addition eller med ekvation med lite hjälp från lärarens sida. ” Sådan undervisning med den
ide att” utnyttja barns naturliga nyfikenhet och upptäckarglädje ” kan man introducera redan i
förskolan (Internet. Skolverketshemsida)
17
.
8.En skola i Danmark
Bifrostskolan är en skola som omfattar också fritidsverksamhet. Varje grupp består av högst
18 barn och barnen är fördelade i 11 grupper. Man arbetar alltid med ett inspirationstema
som är hämtat från kultur – naturupplevelse .Man arbetar med cirka tre teman om året.
Inspirationstemat presenteras med flera upplevelser med jämna mellanrum. Utifrån varje
upplevelse kommer barnen fram till det aktuella deltema som de ska arbeta med under de
kommande veckorna. När det första deltemat är bearbetat, följer en ny upplevelse, som i sin
tur sätter igång ett nytt arbete. Till varje överordnat tema , utarbetar man en preliminär plan
för hela skolan. Den beskriver temats mål, innehåll och möjligheter .Eleverna har inte
lektioner i vanlig mening. Det finns olika modultyper: Ämnesmodul, kunskaps och
färdighetsmodul, verkstads eller projektmodul. I ämnesmodul undervisar man beroende på
klassnivå , danska, matematik, engelska, tyska, fysik, musik, idrott, träslöjd och hemkunskap.
I den här modulen lägger man tyngdpunkten på metoder och färdigheter. I kunskaps och
färdighetsmodulen lägger man tyngdpunkten på att fördjupa barnens kunskap om det aktuella
temat. I den tredje modulen arbetar eleverna tvärfackligt mellan klassnivåerna..
På låg och mellanstadiet arbetar barnen i tre fasta verkstäder: Läs och skrivverkstaden,
laboratoriet och målarateljén. I laboratoriet ligger tyngdpunkten på experimenterande
aktiviteter. Skolan använder i stort sett inga traditionella läroböcker. Lärarna framställer
själva det mesta av det material som barnen ska använda. När ett tema är avslutat samlas allt
material i pärmar. Utöver böcker har barnen tillgång till datorer, kopieringsapparater,
ljusbord, skärmaskiner, bandspelare m.m. .Barnen lär sig att använda de olika redskapen.
Slutsatser
I det här projektarbetet har jag försökt framställa olika åsikter om hur aktiv matematik
undervisning fungerar och bör fungera i skolan.
Forskning visar att de barn där man började arbeta tidigt och aktivt med matematik och
problemlösning klarade sig bättre i högre klasser och har större möjligheter att klara sig
bättre i framtiden. Viktigt är vilka metoder man använder när man börjar med matematik i
förskolan och i skolan. Den senaste forskningen tyder på att det bästa sättet med matematik
med barn i den föreskrivna åldern är aktiv undervisning för att utmana och stimulera deras
nyfikenhet .
Idag har vi som lärare större möjligheter att välja undervisningsmetoder som är de
lämpligaste för att utveckla och belysa matematik i skolan. Men varför undviker lärarna att
ändra sina metoder? Har detta med resurserna att göra?
Avslutning
Som avslutning till detta arbete vill jag tacka Marie Thavenius för positiv inställning och allt
hjälp till mitt arbete.
18
Referenslitteratur
Ahlberg Ann.1995 ”Barn och matematik”
Ljungblad Ann-Luise 2001 ”Matematisk Medvetenhet”
Carlgren Ingrid.” Miljöer för lärande” 1999
Almqvist , B.(1991) ” Barn och leksaker”. Lund: Studentlitteratur
Malmer Gudrun 1990.” Kreativ matematik”
Pedagogisk magasin. 1997.nr 2
Pedagogiska magasinet 2001 nr 3
Hwang Philip, Nilsson Björn ”Utvecklingspsykologi ”.1995
Furness Anthony ”Vägar till matematiken” 1998
Fischer Ulla Madsen, Bent Leicht ” Titta här”.1990.
Doverborg Elisabet Pramling Samuelsson Ingrid.1999. ” Förskolebarn i matematikens värld”.
P. Berggren M. Lindroth ” G Matematik”
Nämnarens Tema Matematik – ett kommunikationsämne .1996.
Tal och räkning.2 1995 Studentlitteratur
Geometri och statistik. Studentlitteratur.
Problemlösning 1991 Studentlitteratur
Gunnarsson Jenny Hultin Jenny ” Meteorologi för grundskolläraren – en lärarguide.
Affan Dagasan .”Laborativt arbete och dess roll i matematikinlärningen” examen arbete
Nämnarens Tema Matematik från början.
Kaye Kaye .1994 ” Mattelekar”
Läroplan för förskolan och fritidshem 1998.
Nämnaren nr.4 2002-04-28
Nämnaren nr.2 1996
Pedagogiska Magasinet nr. 3 2001
Läroplan för grundskolan 1994.
Skolverkets hemsidan Internet.
19
20
